13831. Отрезок AD
— общая хорда пересекающихся окружностей \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
. Прямая, проходящая через точку D
пересекает эти окружности в точках B
и C
соответственно. Точка E
, отличная от A
и D
, лежит на отрезке AD
. Прямая CE
пересекает окружность \Gamma_{1}
в точках P
и Q
, а прямая BE
пересекает окружность \Gamma_{2}
в точках M
и N
. Докажите, что:
а) точки P
, Q
, M
и N
лежат на некоторой окружности \Gamma_{3}
;
б) если O
— центр окружности \Gamma_{3}
, то OD\perp BC
.
Решение. а) По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627)
EP\cdot EQ=EA\cdot ED,~EM\cdot EN=EA\cdot ED,
Поэтому EP\cdot EQ=EM\cdot EN
. Следовательно (см. задачу 114) точки P
, Q
, M
и N
лежат на одной окружности (обозначим её \Gamma_{3}
).
б) Продолжения хорд MN
и CD
окружности \Gamma_{2}
пересекаются в точке B
, поэтому (см. задачу 2636) BD\cdot BC=BM\cdot BN
, а так как BM\cdot BN
— степень точки B
относительно окружности \Gamma_{3}
, то
BM\cdot BN=BO^{2}-\rho^{2},
где \rho
— радиус окружности \Gamma_{3}
(см. задачу 2636). Аналогично,
CD\cdot CB=CP\cdot CQ=CO^{2}-\rho^{2}.
Значит,
BO^{2}-CO^{2}=BD\cdot BC-\rho^{2}-(CD\cdot CB-\rho^{2})=
=BD\cdot BC-CD\cdot CB=BC(BD-DC)=
=(BD+DC)(BD-DC)=BD^{2}-DC^{2}.
Из равенства BO^{2}-CO^{2}=BD^{2}-DC^{2}
следует, что OD\perp BC
(см. задачу 2445). Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2000, том 73, № 2, задача 1573 с. 161
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2008, № 7, задача 3, с. 416
Источник: Сингапурские математические олимпиады. — 2004