13889. На сторонах AC
и BC
треугольника ABC
лежат точки E
и F
соответственно, причём AE=BF
. Описанные окружности треугольников ACF
и BCE
пересекаются в точке D
, отличной от C
. Докажите, что CD
— биссектриса угла ACB
.
Решение. Пусть описанные окружности треугольников ACF
и BCE
пересекают AB
в точках F'
и E'
, отличных от A
и B
соответственно. Тогда (см. задачу 2636)
AE\cdot AC=AE'\cdot AB,~BF\cdot BC=BF'\cdot AB,
поэтому
\frac{AE\cdot AC}{BF\cdot BC}=\frac{AE'\cdot AB}{BF'\cdot AB},
а так как AE=BF
, то \frac{AC}{BC}=\frac{AE'}{BF'}
.
Кроме того (см. задачу 2627),
DD'\cdot D'C=BD'\cdot D'E',~DD'\cdot D'C=AD'\cdot D'F',
поэтому AD'\cdot D'F'=BD'\cdot D'E'
. Значит,
\frac{AD'}{BD'}=\frac{D'E'}{D'F'}=\frac{AD'-D'E'}{BD'-D'F'}=\frac{AE'}{BF'}=\frac{AC}{BC}.
Следовательно, AD'
— биссектриса треугольника ABC
(см. задачу 1510), а CD
— биссектриса угла ACB
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2011, № 1, задача 3, с. 31
Источник: Немецкие математические олимпиады. — 2007