13895. Вписанная окружность треугольника ABC
касается его сторон BC
, AC
и AB
в точках A'
, B'
и C'
соответственно. Радиусы вписанных окружностей треугольников A'B'C'
, AB'C
, BA'C
и CA'B'
равны \rho
, r_{a}
, r_{b}
и r_{c}
соответственно, а радиус вписанной окружности треугольника ABC
равен r
. Докажите, что
r=\frac{1}{2}(\rho+r_{a}+r_{b}+r_{c}).
Решение. Заметим, что центры I_{a}
, I_{b}
и I_{c}
вписанных окружностей треугольников соответственно AB'C
, BA'C
и CA'B'
лежат на окружности \Gamma
с центром I
, вписанной в треугольник ABC
(см. задачу 362). Эта окружность описана около остроугольного (см. задачу 1303) треугольника A'B'C'
, поэтому по формуле Карно (см. задачу 3257)
d_{a}+d_{b}+d_{c}=r+\rho,
где d_{a}
, d_{b}
и d_{c}
— расстояние от точки I
до сторон соответственно B'C'
, A'C'
и A'B'
треугольника A'B'C'
, а r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
, т. е. описанной окружности \Gamma
треугольника A'B'C'
.
Пусть M
— середина отрезка B'C'
. Тогда точки I_{a}
, M
и I
лежат на биссектрисе угла BAC
, причём точка M
— на отрезке I_{a}I
, а I_{a}M=r_{a}
и IM=d_{a}
, поэтому
r=I_{a}I=I_{a}M+IM=r_{a}+d_{a}.
Аналогично,
r=r_{a}+d_{a}r,~r=r_{c}+d_{c}.
Значит,
3r=(r_{a}+d_{a})+(r_{b}+d_{b})+(r_{c}+d_{c})=(d_{a}+d_{b}+d_{c})+(r_{a}+r_{b}+r_{c})=
=r+\rho+r_{a}+r_{b}+r_{c}.
Следовательно,
r=\frac{1}{2}(\rho+r_{a}+r_{b}+r_{c}).
Что и требовалось доказать.