13920. Дан параллелограмм ABCD
. Окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается диагонали AC
в точке P
. В треугольники DAP
и DCP
вписаны окружности радиусов r_{1}
и r_{2}
соответственно. Докажите, что \frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{AP}{PC}
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда
AP=\frac{b+c-a}{2},~PC=\frac{a+b-c}{2}
(см. задачу 219),
r_{1}=\frac{S_{\triangle DAP}}{\frac{AD+AP+DP}{2}}=\frac{S_{\triangle DAP}}{\frac{a+\frac{b+c-a}{2}+DP}{2}}=\frac{S_{\triangle DAP}}{\frac{p+DP}{2}}=\frac{2S_{\triangle DAP}}{p+DP},
r_{2}=\frac{S_{\triangle DCP}}{\frac{CD+CP+DP}{2}}=\frac{S_{\triangle DCP}}{\frac{c+\frac{a+b-c}{2}+DP}{2}}=\frac{S_{\triangle DCP}}{\frac{p+DP}{2}}=\frac{2S_{\triangle DCP}}{p+DP}.
(см. задачу 452). Следовательно,
\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{\frac{2S_{\triangle DAP}}{p+DP}}{\frac{2S_{\triangle DCP}}{p+DP}}=\frac{S_{\triangle DAP}}{S_{\triangle DCP}}=\frac{AP}{PC}
(см. задачу 3000). Что и требовалось доказать.