13988. Дан неравнобедренный остроугольный треугольник ABC
. Точка N
— центр окружности, проходящей через основания его высот, D
— точка пересечения касательных к описанной окружности треугольника ABC
, проведённых через вершины B
и C
. Докажите, что точки A
, N
и D
лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда \angle BAC=45^{\circ}
.
Решение. Пусть O
и H
— центр описанной окружности и ортоцентр треугольника ABC
соответственно.
Заметим, что окружность, проходящая через основания высот треугольника ABC
, — окружность девяти точек этого треугольника, и её центр O
— середина отрезка OH
(см. задачу 174). Кроме того, если A'
середина стороны BC
, то AH=2OA'
(см. задачу 1257), DO\perp BC
(см. задачу 1180) и \angle OBD=\angle OCD=90^{\circ}
. Значит, точки D
, A'
и O
лежат на одной прямой, причём OD\parallel AH
(поскольку AH\perp BC
).
Таким образом, следующие утверждения равносильны:
а) \angle BAC=45^{\circ}
и \angle BOC=90^{\circ}
;
б) \angle BOC=90^{\circ}
и четырёхугольник OBDC
— квадрат (прямоугольник с равными соседними сторонами);
в) OA'=A'D
;
г) OD=AH
;
д) ODHA
— параллелограмм;
е) диагональ AD
четырёхугольника ODHA
проходит через середину N
диагонали OH
;
ж) A
, N
и D
лежат на одной прямой.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2018, № 3, задача OC311, с. 102
Источник: Бразильские математические олимпиады. — 2017