14043. Основание пирамиды SABCD
— трапеция ABCD
с основаниями AD=2BC
. Точки M
, N
и K
— середины рёбер BC
, SD
и CD
соответственно. Точка F
лежит на ребре SA
, причём SF:FA=1:13
. Докажите, что плоскость MNF
параллельна прямой SK
.
Решение. Первый способ. Плоскости ASD
и BSC
проходят через параллельные прямые AD
и BC
и имеют общую точку S
, значит, они пересекаются по прямой l
, параллельной AD
и BC
(см. задачу 8004). Пусть прямая NF
пересекает прямые l
и AD
, лежащие в плоскости ASD
, в точках T
и E
соответственно. Обозначим ST=a
. Поскольку N
— середина ребра SD
, треугольник DNE
равен треугольнику TNS
по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому DE=ST=a
.
Треугольник AFE
подобен треугольнику SFT
с коэффициентом \frac{AF}{FS}=13
, поэтому
AE=13ST=13a,~AD=AE-DE=13a-a=12a,
BC=\frac{1}{2}AD=6a,~CM=\frac{1}{2}BC=3a.
Пусть отрезки EM
и CD
пересекаются в точке L
. Треугольник DLE
подобен треугольнику CLM
с коэффициентом \frac{DE}{CM}=\frac{a}{3a}=\frac{1}{3}
. Значит, \frac{DL}{LC}=\frac{1}{3}
, а так как K
— середина CD
, то L
— середина DK
, а LN
— средняя линия треугольника DSK
. Тогда SK\parallel LN
, причём точка L
лежит в плоскости MNF
, так как она лежит на прямой ME
, лежащей в этой плоскости. Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости (см. задачу 8002) прямая SK
параллельна плоскости MNF
, содержащей прямую NL
.
Второй способ. Разложим векторы \overrightarrow{NM}
, \overrightarrow{NF}
и \overrightarrow{SK}
по трём некомпланарным векторам \overrightarrow{SA}=\overrightarrow{a}
, \overrightarrow{SD}=\overrightarrow{b}
и \overrightarrow{SC}=\overrightarrow{c}
. Учитывая, что
\overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})~\mbox{и}~\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{c}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b},
получим (см. задачи 4504 и 4500)
\overrightarrow{NM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{SB})=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}\right)=\frac{1}{4}\overrightarrow{a}-\frac{3}{4}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c},
\overrightarrow{NF}=\overrightarrow{NS}+\overrightarrow{SF}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\frac{1}{14}\overrightarrow{SA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\frac{1}{14}\overrightarrow{a},
\overrightarrow{SK}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b})=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}.
Тогда
\frac{2}{7}\overrightarrow{NM}-\frac{4}{7}\overrightarrow{SK}=\frac{2}{7}\left(\frac{1}{4}\overrightarrow{a}-\frac{3}{4}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)-\frac{4}{7}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}\right)=
=\frac{1}{14}\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{NF},
Это означает, что векторы \overrightarrow{NM}
, \overrightarrow{NF}
и \overrightarrow{SK}
, среди которых нет коллинеарных, компланарны. Тогда они либо лежат в одной плоскости, либо параллельны одной плоскости. Прямая SK
не лежит в плоскости MNF
, следовательно, она ей параллельна.