14063. Основание пирамиды TABCD
— равнобедренная трапеция ABCD
, средняя линия которой равна 5\sqrt{3}
. Отношение площадей частей трапеции ABCD
, на которые её делит средняя линия, равно 7:13
. Все боковые грани пирамиды TABCD
наклонены к плоскости основания под углом 30^{\circ}
. Найдите объём пирамиды TAKND
, где точки K
и N
— середины рёбер TB
и TC
соответственно, AD
— большее основание трапеции ABCD
.
Ответ. 18
.
Решение. Все боковые грани пирамиды TABCD
наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, поэтому высота трапеции проходит через центр O
окружности, вписанной в основание (см. задачу 7167). Значит, трапеция ABCD
описанная. Пусть радиус её вписанной окружности равен r
, AD=a
, BC=b
, а EF=5\sqrt{3}
— её средняя линия (E
на AB
). Тогда
\frac{13}{20}=\frac{S_{AEFD}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac{a+\frac{a+b}{2}}{2}\cdot r}{\frac{a+b}{2}\cdot2r}=\frac{3a+b}{4(a+b)},
т. е. \frac{3a+b}{a+b}=\frac{13}{5}
, откуда a=4b
, а так как \frac{a+b}{2}=5\sqrt{3}
, то BC=b=2\sqrt{3}
и AD=4b=8\sqrt{3}
.
Пусть G
, Q
и R
— точки касания со сторонами соответственно CD
, AD
и BC
окружности, вписанной в трапецию ABCD
. Тогда
CG=CR=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3},~DG=DQ=\frac{1}{2}AD=4\sqrt{3},
а т. е. OG
— высота прямоугольного треугольника COD
(см. задачу 313), проведённая из вершины прямого угла, то (см. задачу 2728)
r=OG=\sqrt{CG\cdot DG}=\sqrt{\sqrt{3}\cdot4\sqrt{3}}=2\sqrt{3},
а так как QR
— высота трапеции, то RQ=2r=4\sqrt{3}
.
TO=OQ\tg30^{\circ}=2\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=2.
Отрезок KN
— средняя линия треугольника BTC
, поэтому KN\parallel BC
, KN=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}
. Тогда AKND
— равнобедренная трапеция с высотой QL
, где L
— середина основания KN
. Тогда
S_{AKND}=\frac{AD+KN}{2}\cdot QL=\frac{8\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2}\cdot QL=\frac{9\sqrt{3}QL}{2}.
Пусть высота TH
пирамиды TAKND
(расстояние от вершины T
до плоскости основания AKND
) равна d
. Записав двумя способами площадь треугольника QTL
, получим
\frac{1}{2}QL\cdot TH=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}QR\cdot TO,~\frac{1}{2}QL\cdot d=\frac{1}{4}\cdot4\sqrt{3}\cdot2,
откуда d=\frac{4\sqrt{3}}{QL}
. Следовательно,
V_{TAKND}=\frac{1}{3}S_{AKND}\cdot d=\frac{1}{3}\cdot\frac{9\sqrt{3}QL}{2}\cdot\frac{4\sqrt{3}}{QL}=18.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2019, отборочный этап, 11 класс, № 9, вариант 1