14072. Основание пирамиды TABC
— треугольник ABC
, все стороны которого равны 2\sqrt{14}
, а высота пирамиды совпадает с боковым ребром TA
. Найдите объёмы частей, на которые делит пирамиду плоскость, проходящая через середины стороны основания AC
и бокового ребра TB
и параллельная медиане TD
боковой грани ATB
, если расстояние от вершины пирамиды до секущей плоскости равно 1.
Ответ. \frac{7\sqrt{105}}{60}
, \frac{7\sqrt{105}}{4}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер AC
и TA
соответственно, а объём пирамиды TABC
равен V
. Плоскость ATB
проходит через прямую TD
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскости общую точку N
, значит, плоскость ATD
и секущая плоскость пересекаются по прямой, проходящей через точку N
параллельно TD
(см. задачу 8003), т. е. пересечение этих плоскостей — средняя линия MK
прямоугольного треугольника ACD
. Тогда (см. задачу 7244)
V_{AKMN}=\frac{AK}{AB}\cdot\frac{AM}{AC}\cdot\frac{AN}{AT}V=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}V=\frac{1}{16}V.
Отрезок TA
делится секущей плоскостью пополам, значит, точки A
и T
равноудалены от этой плоскости (см. задачу 9180). Пусть AH
— высота прямоугольного треугольника AKN
. Поскольку KM\perp AB
и KM\perp TA
, прямая KM
перпендикулярна плоскости ATB
, а значит, и прямой AH
, лежащей в этой плоскости. Прямая AH
перпендикулярна пересекающимся прямым DN
и MK
плоскости DMN
, значит, AH
— перпендикуляр к этой плоскости. Его длина равна расстоянию от точки A
до плоскости DMN
, т. е. AH=1
.
Обозначим \angle AKN=\alpha
. Из прямоугольного треугольника AHK
находим, что
\sin\alpha=\frac{AH}{AK}=\frac{1}{\frac{\sqrt{14}}{2}}=\sqrt{\frac{2}{7}}.
Тогда
\cos\alpha=\sqrt{\frac{5}{7}},~\tg\alpha=\sqrt{\frac{2}{5}}.
Значит,
TA=2AN=2AK\tg\alpha=2\frac{\sqrt{14}}{2}\cdot\sqrt{\frac{2}{5}}=\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{5}}.
Тогда
V=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot TA=\frac{1}{3}\cdot\frac{(2\sqrt{14})^{2}\cdot\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{5}}=\frac{28\sqrt{21}}{3\sqrt{5}}.
Следовательно,
V_{AKMN}=\frac{1}{16}V=\frac{1}{16}\cdot\frac{28\sqrt{21}}{3\sqrt{5}}=\frac{7\sqrt{21}}{12\sqrt{5}}=\frac{7\sqrt{105}}{60},
V-V_{AKMN}=\frac{15}{16}V=\frac{7\sqrt{105}}{4}.