14091. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
сторона основания AD=14
, высота SH=24
. Точка K
— середина бокового ребра SD
, а точка N
— середина ребра CD
. Плоскость ABK
пересекает боковое ребро SC
в точке P
.
а) Докажите, что прямая KP
пересекает отрезок SN
в его середине.
б) Найдите расстояние от точки P
до плоскости ABS
.
Ответ. \frac{168}{25}
.
Решение. а) Плоскости ABK
и CSD
проходят через параллельные прямые AB
и CD
соответственно и пересекаются по прямой KP
, значит, KP\parallel CD
(см. задачу 8004). Тогда KP
— средняя линия треугольника CSD
. По теореме Фалеса прямая KP
пересекает медиану SN
этого треугольника в её середине M
. Что и требовалось доказать.
б) Точка P
— середина наклонной CS
к плоскости ABS
, поэтому расстояние от точки P
до плоскости ABS
вдвое меньше расстояния до этой плоскости от точки C
(см. задачу 9180). Точка H
— середина наклонной CA
к плоскости ABS
, поэтому расстояние от точки H
до этой плоскости тоже вдвое меньше расстояния до этой плоскости от точки C
. Таким образом, искомое расстояние от точки P
до плоскости ABS
равно расстоянию от точки H
до этой плоскости.
Пусть L
— середина ребра AB
, HQ
— высота высота прямоугольного треугольника SHL
. Прямая HQ
перпендикулярна пересекающимся прямым SL
и AB
плоскости ABS
, значит, HQ
— перпендикуляр к этой плоскости, и расстояние от точки H
до плоскости ABS
равно длине отрезка HQ
. Из прямоугольного треугольника SHL
находим, что
HQ=\frac{HL\cdot SH}{SL}=\frac{HL\cdot SH}{\sqrt{HL^{2}+SH^{2}}}=\frac{7\cdot24}{\sqrt{7^{2}+24^{2}}}=\frac{7\cdot24}{25}=\frac{168}{25}
(см. задачу 1967).
Источник: ЕГЭ. — 2021, задача 14