14137. Все рёбра тетраэдра ABCD
равны 1. На ребре AB
расположена точка M
, причём AM:AB=1:3
. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми CM
и AD
.
Ответ. \frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}
.
Решение. Первый способ. Пусть L
— середина ребра AD
, а MN
— перпендикуляр к BL
. Поскольку BL
и CL
— медианы равносторонних треугольников ABD
и ACD
, прямая AD
перпендикулярна пересекающимся прямым BL
и CL
плоскости BLC
. Значит, эта прямая перпендикулярна плоскости BLC
. Тогда параллельная ей прямая MN
тоже перпендикулярна плоскости BLC
(см. задачу 7701). Следовательно, прямая CN
— ортогональная проекция прямой CM
на плоскость BLC
, а расстояние d
между скрещивающимися прямыми CM
и AD
равно расстоянию от точки L
до прямой CN
, т. е. высоте LK
треугольника CLN
(см. задачу 8406).
Обозначим через \beta
углы при основании BC
равнобедренного треугольника BLC
со сторонами BC=1
, BL=CL=\frac{\sqrt{3}}{2}
. Тогда
\cos\beta=\frac{BC}{2BL}=\frac{1}{\sqrt{3}},~\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.
По теореме Фалеса \frac{BN}{NL}=\frac{BM}{MA}=2
, поэтому BN=\frac{2}{3}BL=\frac{\sqrt{3}}{3}
. По теореме косинусов
CN=\sqrt{BN^{2}+BC^{2}-2BN\cdot BC\cos\beta}=\sqrt{\frac{1}{3}+1-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot1\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.
Пусть S
— площадь треугольника BLC
. Тогда
S=\frac{1}{2}BL\cdot BC\sin\beta=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot1\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{4},
а так как LN=\frac{1}{3}BL
, то
S_{\triangle CLN}=\frac{1}{3}S=\frac{\sqrt{2}}{12}.
Следовательно,
d=LK=\frac{2S_{\triangle CLN}}{CN}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{6}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{6}.
Второй способ. Пусть DH
— высота тетраэдра ABCD
, V
— его объём, V_{1}
— объём тетраэдра ADCM
. Тогда
V=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DH=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{12},
а так как S_{\triangle AMC}=\frac{1}{3}S_{ABC}
, то
V_{1}=\frac{1}{3}V=\frac{\sqrt{2}}{36}.
С другой стороны, V_{1}=\frac{1}{6}AD\cdot CM\cdot d\sin\alpha
, где d
— искомое расстояние между прямыми AD
и CM
, а \alpha
— угол между этими прямыми (см. задачу 7234).
Пусть P
— точка на ребре BD
, для которой MP\parallel AD
. Тогда DP=AM
, MP=\frac{2}{3}
, а \angle CMP=\alpha
. По теореме косинусов
CM=\sqrt{AC^{2}+AM^{2}-2CM\cdot AM\cos60^{\circ}}=\sqrt{1+\frac{1}{9}-\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{7}}{3},
а так как треугольники CAM
и CDP
равны (по двум сторонам и углу между ними), то CP=CM=\frac{\sqrt{7}}{3}
. Треугольник MCP
равнобедренный, поэтому его медиана CN
является высотой, значит,
\cos\alpha=\frac{MN}{CM}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{7}}{3}}=\frac{1}{\sqrt{7}},~\sin\alpha=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}.
Таким образом
V_{1}=\frac{1}{6}AD\cdot CM\cdot d\sin\alpha=\frac{1}{6}\cdot1\cdot\frac{\sqrt{7}}{3}\cdot d\cdot\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}=\frac{d\sqrt{6}}{18}.
Из равенства \frac{d\sqrt{6}}{18}=\frac{\sqrt{2}}{36}
находим, что
d=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}.
Третий способ. Пусть P
— точка на ребре BD
, для которой MP\parallel AD
, \angle CMP=\alpha
. Тогда DP=AM
, MP=\frac{2}{3}
. Прямая AD
параллельна прямой MP
, лежащей в плоскости CMP
, значит прямая AD
параллельна этой плоскости. Следовательно, расстояние d
между скрещивающимися прямыми AD
и CM
равно расстоянию от любой точки прямой AD
, например, от точки A
, до плоскости CMP
, т. е. высоте тетраэдра ACMP
, проведённой из вершины A
.
По теореме косинусов
CP=CM=\sqrt{AC^{2}+AM^{2}-2CM\cdot AM\cos60^{\circ}}=\sqrt{1+\frac{1}{9}-\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{7}}{3}.
Отрезок BL
— медиана треугольника ABD
, а MP\parallel AD
, поэтому точка N
пересечения MP
и BL
— середина MP
(см. задачу 2607). Треугольник MCP
равнобедренный, поэтому его медиана CN
является высотой, значит,
CN=\sqrt{CM^{2}-MN^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}-\frac{1}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},
S_{\triangle CMP}=\frac{1}{2}MP\cdot CN=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}.
Поскольку отношение площадей треугольников AMC
и ABC
равно \frac{AM}{AB}=\frac{1}{3}
, а отношение высот тетраэдров ACMP
и ABCD
, проведённых из вершин соответственно D
и P
, равно \frac{2}{3}
, то отношение объёмов тетраэдров равно \frac{2}{9}
. Значит,
v=\frac{2}{9}V=\frac{2}{9}\cdot\frac{\sqrt{2}}{12}=\frac{\sqrt{2}}{54}.
С другой стороны
v=\frac{1}{3}S_{\triangle CMP}\cdot d=\frac{d\sqrt{2}}{9\sqrt{3}}.
Из равенства \frac{d\sqrt{2}}{9\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{54}
находим, что d=\frac{\sqrt{3}}{6}
.