14138. Все рёбра тетраэдра ABCD
равны 1. На ребре AB
расположена точка M
, причём AM:AB=1:4
. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми CM
и AD
.
Ответ. \frac{\sqrt{86}}{43}
.
Решение. Первый способ. Пусть L
— середина ребра AD
, а MN
— перпендикуляр к BL
. Поскольку BL
и CL
— медианы равносторонних треугольников ABD
и ACD
, прямая AD
перпендикулярна пересекающимся прямым BL
и CL
плоскости BLC
. Значит, эта прямая перпендикулярна плоскости BLC
. Тогда параллельная ей прямая MN
тоже перпендикулярна плоскости BLC
(см. задачу 7701). Следовательно, прямая CN
— ортогональная проекция прямой CM
на плоскость BLC
, а расстояние d
между скрещивающимися прямыми CM
и AD
равно расстоянию от точки L
до прямой CN
, т. е. высоте LK
треугольника CLN
(см. задачу 8406).
Обозначим через \beta
углы при основании BC
равнобедренного треугольника BLC
со сторонами BC=1
, BL=CL=\frac{\sqrt{3}}{2}
. Тогда
\cos\beta=\frac{BC}{2BL}=\frac{1}{\sqrt{3}},~\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.
По теореме Фалеса \frac{BN}{NL}=\frac{BM}{MA}=3
, поэтому BN=\frac{3}{4}BL=\frac{3\sqrt{3}}{8}
. По теореме косинусов
CN=\sqrt{BN^{2}+BC^{2}-2BN\cdot BC\cos\beta}=\sqrt{\frac{27}{64}+1-2\cdot\frac{3\sqrt{3}}{8}\cdot1\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{43}}{8}.
Пусть S
— площадь треугольника BLC
. Тогда
S=\frac{1}{2}BL\cdot BC\sin\beta=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot1\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{4},
а так как LN=\frac{1}{4}BL
, то
S_{\triangle CLN}=\frac{1}{4}S=\frac{\sqrt{2}}{16}.
Следовательно,
d=LK=\frac{2S_{\triangle CLN}}{CN}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{8}}{\frac{\sqrt{43}}{8}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{43}}=\frac{\sqrt{86}}{43}.
Второй способ. Пусть DH
— высота тетраэдра ABCD
, V
— его объём, V_{1}
— объём тетраэдра ADCM
. Тогда
V=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DH=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{12},
а так как S_{\triangle AMC}=\frac{1}{4}S_{ABC}
, то
V_{1}=\frac{1}{4}V=\frac{\sqrt{2}}{48}.
С другой стороны, V_{1}=\frac{1}{6}AD\cdot CM\cdot d\sin\alpha
, где d
— искомое расстояние между прямыми AD
и CM
, а \alpha
— угол между этими прямыми (см. задачу 7234).
Пусть P
— точка на ребре BD
, для которой MP\parallel AD
. Тогда DP=AM
, MP=\frac{3}{4}
, а \angle CMP=\alpha
. По теореме косинусов
CM=\sqrt{AC^{2}+AM^{2}-2CM\cdot AM\cos60^{\circ}}=\sqrt{1+\frac{1}{16}-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{4},
а так как треугольники CAM
и CDP
равны (по двум сторонам и углу между ними), то CP=CM=\frac{\sqrt{13}}{4}
. Треугольник MCP
равнобедренный, поэтому его медиана CN
является высотой, значит,
\cos\alpha=\frac{MN}{CM}=\frac{\frac{3}{8}}{\frac{\sqrt{13}}{4}}=\frac{3}{2\sqrt{13}},~\sin\alpha=\frac{\sqrt{43}}{2\sqrt{13}}.
Таким образом
V_{1}=\frac{1}{6}AD\cdot CM\cdot d\sin\alpha=\frac{1}{6}\cdot1\cdot\frac{\sqrt{13}}{4}\cdot d\cdot\frac{\sqrt{43}}{2\sqrt{13}}=\frac{d\sqrt{43}}{48}.
Из равенства \frac{d\sqrt{43}}{48}=\frac{\sqrt{2}}{48}
находим, что
d=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{43}}=\frac{\sqrt{86}}{43}.
Третий способ. Пусть P
— точка на ребре BD
, для которой MP\parallel AD
, \angle CMP=\alpha
. Тогда DP=AM
, MP=\frac{3}{4}
. Прямая AD
параллельна прямой MP
, лежащей в плоскости CMP
, значит прямая AD
параллельна этой плоскости. Следовательно, расстояние d
между скрещивающимися прямыми AD
и CM
равно расстоянию от любой точки прямой AD
, например, от точки A
, до плоскости CMP
, т. е. высоте тетраэдра ACMP
, проведённой из вершины A
.
По теореме косинусов
CP=CM=\sqrt{AC^{2}+AM^{2}-2CM\cdot AM\cos60^{\circ}}=\sqrt{1+\frac{1}{16}-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{4},
Отрезок BL
— медиана треугольника ABD
, а MP\parallel AD
, поэтому точка N
пересечения MP
и BL
— середина MP
(см. задачу 2607). Треугольник MCP
равнобедренный, поэтому его медиана CN
является высотой, значит,
CN=\sqrt{CM^{2}-MN^{2}}=\sqrt{\frac{13}{16}-\frac{9}{64}}=\frac{\sqrt{43}}{8},
S_{\triangle CMP}=\frac{1}{2}MP\cdot CN=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{\sqrt{43}}{8}=\frac{3\sqrt{43}}{64}.
Поскольку отношение площадей треугольников AMC
и ABC
равно \frac{AM}{AB}=\frac{1}{4}
, а отношение высот тетраэдров ACMP
и ABCD
, проведённых из вершин соответственно D
и P
, равно \frac{3}{4}
, то отношение объёмов тетраэдров равно \frac{3}{16}
. Значит,
v=\frac{3}{16}V=\frac{3}{16}\cdot\frac{\sqrt{2}}{12}=\frac{\sqrt{2}}{64}.
С другой стороны
v=\frac{1}{3}S_{\triangle CMP}\cdot d=\frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt{43}}{64}\cdot d=\frac{d\sqrt{43}}{64}
Из равенства \frac{d\sqrt{43}}{64}=\frac{\sqrt{2}}{64}
находим, что
d=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{43}}=\frac{\sqrt{86}}{43}.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2021, март, заключительный тур, 11 класс, комплект 2, вариант 2, задача 6