14161. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
боковое ребро SA
равно 12, а сторона AB
основания ABCD
равна 6. В боковых гранях SAB
и SAD
провели биссектрисы AL
и AM
соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью ALM
делит ребро SC
пополам.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью ALM
.
Ответ. 24.
Решение. а) Пусть сечение пирамиды плоскостью ALM
пересекает ребро SC
в точке K
, а высоту SO
пирамиды — в точке N
. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) ,
\frac{SM}{DM}=\frac{SL}{DL}=\frac{SA}{AB}=2.
Из подобия треугольников LSM
и BSD
следует, что \frac{SN}{ON}=\frac{SL}{LN}=2
. Таким образом, N
— точка пересечения медиан треугольника ASC
, а AK
— медиана этого треугольника. Поэтому SK=CK
. Что и требовалось доказать.
б) Из подобия треугольников LSM
и BSD
находим, что
LM=\frac{2}{3}BD=4\sqrt{2}.
По формуле для медианы (см. задачу 4024)
AK^{2}=\frac{1}{4}(2SA^{2}+2AC^{2}-SC^{2})=\frac{1}{4}(2SA^{2}+2AC^{2}-SA^{2})=
=\frac{1}{4}(SA^{2}+2AC^{2})=\frac{1}{4}=144+2\cdot(6\sqrt{2})^{2})=36+36=72,
откуда AK=6\sqrt{2}
В равнобедренном треугольнике LAM
медиана AN
является высотой, поэтому диагонали LM
и AK
сечения ALKM
перпендикулярны. Следовательно (см. задачу 3018),
S_{ALKM}=\frac{1}{2}AK\cdot LM=\frac{1}{2}\cdot6\sqrt{2}\cdot4\sqrt{2}=24.