14229. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF
с вершиной S
. Боковая грань образует с плоскостью основания угол 60^{\circ}
. Найдите углы между медианой BM
грани BSC
и остальными шестью гранями.
Ответ. \arcsin\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}
, \arcsin\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}
, \arcsin\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}
, 0
, \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}
, \arcsin\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}
.
Решение. Пусть H
— центр основания ABCDEF
, N
— середина ребра CD
, HP
— высота треугольника SHN
. Тогда DH
— высота пирамиды, HP
— перпендикуляр к плоскости CSD
, а \angle SNH=60^{\circ}
.
Можно считать, что AB=1
. Тогда
HN=\frac{\sqrt{3}}{2},~SH=HN\sqrt{3}=\frac{3}{2},~HP=HN\sin60^{\circ}=\frac{3}{4},
SC=\sqrt{SH^{2}+HC^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}+1}=\frac{\sqrt{13}}{2}.
По формуле для медианы треугольника (см. задачу 4014) находим, что
BM=\frac{1}{2}\sqrt{2BC^{2}+2SB^{2}-SC^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot1+2\cdot\frac{13}{4}-\frac{13}{4}}=\frac{\sqrt{21}}{4}.
Пусть \varphi_{1}
, \varphi_{2}
, \varphi_{3}
, \varphi_{4}
, \varphi_{5}
, \varphi_{6}
— углы прямой BM
с плоскостями CSD
, DSE
, ESF
, FSA
, ASB
и ABCDEF
соответственно.
1. Синус \varphi_{1}
равен отношению расстояния от точки B
до плоскости CSD
к длине наклонной BM
. Прямая BH
параллельна плоскости CSD
, так как она параллельна прямой CD
, лежащей в этой плоскости (см. задачу 8002). Расстояние от точки B
до плоскости CSD
равно расстоянию до этой плоскости от точки H
, т. е. длине отрезка HP
. Следовательно,
\sin\varphi_{1}=\frac{HP}{BM}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{21}}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.
2. Пусть K
и L
— середины отрезков SD
и BH
. Тогда MK
— средняя линия треугольника CSD
, поэтому
MK=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}HB=BL,
и MK\parallel CD\parallel BL
. Значит, BMKL
— параллелограмм. Следовательно, LK=BM
и LK\parallel BM
. Тогда угол \varphi_{2}
прямой BM
с плоскостью DSE
равен углу прямой LK
с этой плоскостью. Синус \varphi_{2}
равен отношению расстояния от точки L
до плоскости DSE
к длине наклонной LK
. Поскольку \frac{LE}{HE}=\frac{3}{2}
, это расстояние равно \frac{3}{2}
расстояния от точки H
до плоскости DSE
(см. задачу 9180), равного \frac{3}{4}
. Следовательно,
\sin\varphi_{2}=\frac{\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{21}}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}.
3. Плоскости BSC
и ESF
проходят через параллельные прямые BC
и EF
соответственно и имеют общую точку S
, значит они пересекаются по прямой, проходящей через точку F
параллельно BC
. Пусть эта прямая пересекается с продолжением отрезка BM
в точке T
. Из равенства треугольников BMC
и TMS
следует, что MT=BM
. Тогда
BT=2BM=\frac{\sqrt{21}}{2},
а так как расстояние от точки B
до плоскости ESF
вдвое больше расстояния до этой плоскости от точки H
(см. задачу 9180), равного \frac{3}{4}
, то
\sin\varphi_{3}=\frac{2\cdot\frac{3}{4}}{2\frac{\sqrt{21}}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.
4. Пусть Q
— середина ребра SF
. Тогда MT
— средняя линия треугольника CSE
, поэтому
MT=\frac{1}{2}CF=AB~\mbox{и}~MT\parallel AB.
Значит, ABMT
— параллелограмм, поэтому BM\parallel AT
, и прямая BM
параллельна плоскости SAE
. Следовательно, угол между прямой и плоскостью SAE
равен 0, т. е. \varphi_{4}=0
.
5. Поскольку M
— середина наклонной SC
к плоскости ASB
, расстояние от точки M
до плоскости ASB
вдвое меньше расстояния до этой плоскости от точки C
(см. задачу 9180), равного расстоянию до этой плоскости от точки H
, т. е. \frac{3}{4}
(так как прямая CH
параллельна плоскости ASB
). Следовательно,
\sin\varphi_{5}=\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{21}}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}.
6. Расстояние от середины M
наклонной SC
к плоскости ABCDEF
вдвое меньше расстояния до этой плоскости от точки S
, т. е. высоты пирамиды SH=\frac{3}{2}
. Следовательно,
\sin\varphi_{6}=\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{21}}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.