14250. Про тетраэдр ABCD
известно, что AB\cdot CD=AC\cdot BD=AD\cdot BC
. Пусть I_{A}
, I_{B}
, I_{C}
, I_{D}
— центры окружностей, вписанных в треугольники BCD
, CDA
, DAB
и ABC
соответственно. Докажите, что отрезки AI_{A}
, BI_{B}
, CI_{C}
, DI_{D}
пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть точка L
— основание биссектрисы AL
треугольника ABC
. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) \frac{BL}{LC}=\frac{BA}{AC}
. Из условия AB\cdot CD=AC\cdot BD
следует, что \frac{BA}{AC}=\frac{BD}{DC}
. Значит, \frac{BL}{LC}=\frac{BD}{DC}
. Тогда (см. задачу 1510) DL
— биссектриса треугольника DBC
.
Рассмотрим треугольник ALD
. Точки I_{D}
, I_{A}
лежат на его сторонах AL
, DL
соответственно, так как центр вписанной в треугольник окружности — точка пересечения биссектрис. Но тогда отрезки DI_{D}
и AI_{A}
пересекаются. Аналогично, любые два отрезка из условия пересекаются. Эти четыре отрезка не лежат в одной плоскости (поскольку их концы A
, B
, C
, D
не лежат в одной плоскости) и при этом попарно пересекаются. Такое возможно только когда они все имеют общую точку (см. задачу 8018).