14256. Точка E
симметрична вершине D
правильного тетраэдра ABCD
относительно плоскости ABC
. Точки M
и N
— середины рёбер DB
и DC
соответственно. Найдите:
а) угол между прямыми CE
и MN
;
б) расстояние между прямыми CE
и MN
, если ребро тетраэдра ABCD
равно 1.
Ответ. 60^{\circ}
, \frac{\sqrt{6}}{9}
.
Решение. а) По теореме о средней линии треугольника MN\parallel BC
, поэтому угол между скрещивающимися прямыми CE
и MN
равен углу между пересекающимися прямыми BC
и CE
, т. е. углу BCE
. Треугольник BCE
равносторонний, следовательно, этот угол равен 60^{\circ}
.
б)
Первый способ. Прямая MN
параллельна плоскости BCE
, так как она эта прямая параллельна прямой BC
, лежащей в плоскости BCE
(см. задачу 8002). Значит, расстояние d
между прямыми CE
и MN
равно расстоянию от произвольной точки прямой MN
(например, от точки M
) до плоскости BCE
(см. задачу 7889).
Пусть O
— центр равностороннего треугольника ABC
. Поскольку MO
— средняя линия треугольника DBE
, прямая MO
параллельна прямой BE
, лежащей в плоскости BCE
. Значит, прямая MO
параллельна плоскости BCE
, поэтому расстояние d
от точки M
до плоскости BCE
равно расстоянию до этой плоскости от точки O
.
Пусть K
— середина ребра BC
, а OH
— высота прямоугольного треугольника KOE
. Тогда OH\perp EK
и OH\perp BC
, поэтому OH
— перпендикуляр к плоскости BCE
, а d=OH
. Следовательно (см. задачу 1967),
d=OH=\frac{OK\cdot OE}{EK}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{6}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{9}.
Второй способ. Пусть K
— середина ребра BC
. Поскольку прямые MN
и BC
параллельны, а прямая BC
перпендикулярна плоскости ADK
, то и прямая MN
перпендикулярна плоскости ADK
. При этом плоскость ADK
проходит через середину L
отрезка MN
. Точка E
лежит в плоскости ADK
, а CK
— перпендикуляр к этой плоскости, поэтому EK
— ортогональная проекция наклонной CE
на плоскость ADK
. Тогда расстояние между прямыми CE
и MN
равно расстоянию от точки L
до прямой EK
(см. задачу 8406).
Пусть LF
и DQ
— перпендикуляры к прямой EK
. Тогда LF
— средняя линия треугольника DKF
, поэтому (см. задачу 1967)
LF=\frac{1}{2}DQ=\frac{1}{2}\cdot\frac{DE\cdot OK}{EK}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{9}.