14273. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD
с вершиной S
. Её противоположные боковые грани попарно перпендикулярны, M
— середина BC
, AB=1
. Найдите:
а) угол между прямыми SM
и AB
;
б) расстояние от точки M
до плоскости ASB
;
в) тангенс угла между плоскостями ASM
и ABC
;
г) расстояние между прямыми SA
и CD
.
Ответ. а) 45^{\circ}
; б) \frac{\sqrt{2}}{4}
; в) \sqrt{5}
; г) \frac{\sqrt{2}}{2}
.
Решение. а) Пусть O
— центр основания пирамиды, N
— середина ребра AD
. Тогда SO
— высота пирамиды, а также медиана прямоугольного равнобедренного треугольника MCN
, проведённая из вершины прямого угла. Значит,
SO=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2},~SN=SM=\frac{\sqrt{2}}{2},
а так как OM\parallel AB
, то угол \beta
между скрещивающимися прямыми SM
и AB
равен углу между пересекающимися прямыми SM
и OM
, т. е. углу SMO
при основании равнобедренного прямоугольного треугольника MCN
. Следовательно, \beta=45^{\circ}
.
б) Прямая OM
параллельна прямой AB
, расположенной в плоскости ASB
, поэтому прямая OM
параллельна этой плоскости (см. задачу 8002). Значит, расстояние d
от точки M
до этой плоскости равно расстоянию от любой точки прямой OM
, например, от точки O
, до плоскости ASB
.
Пусть K
— середина ребра AB
, а OH
— высота прямоугольного треугольника SOK
. Тогда OH
— перпендикуляр к плоскости ASB
(так как OH\perp SK
и OH\perp AB
). Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка OH
, т. е.
d=OH=\frac{SO\cdot OK}{SK}=\frac{SO\cdot OK}{SM}=\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}.
в) Пусть OP
— перпендикуляр к AM
— прямой пересечения плоскостей ASM
и ABC
, \alpha
— угол между этими плоскостями. По теореме о трёх перпендикулярах SP\perp AM
, поэтому OPS
— линейный угол искомого двугранного угла, образованного этими плоскостями.
Поскольку \angle OMP=\angle MAB
, прямоугольные треугольники OMP
и MAB
подобны, поэтому \frac{OP}{MB}=\frac{OM}{MA}
, откуда
OP=\frac{OM\cdot MB}{MA}=\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}=\frac{1}{2\sqrt{5}}.
Из прямоугольного треугольника OPS
находим, что
\alpha=\angle OPS=\frac{SO}{OP}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2\sqrt{5}}}=\sqrt{5}.
г) Прямая CD
параллельна прямой AB
, расположенной в плоскости ASB
, поэтому прямая CD
параллельна этой плоскости (см. задачу 802). Значит, расстояние h
между прямыми SA
и CD
равно расстоянию от любой точки прямой OM
, например, от точки D
, до плоскости ASB
. Поскольку O
— середина наклонной DB
к плоскости ASB
, это расстояние вдвое больше расстояния от точки O
до плоскости ASB
(см. задачу 9180). Следовательно (см. пункт а)),
h=2d=2OH=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.