14282. Основание ABC
тетраэдра ABCD
и боковая грань ABD
— равносторонние треугольники со стороной 1. Их плоскости перпендикулярны. Точка M
— середина ребра AC
. Найдите:
а) угол между прямыми DM
и BC
;
б) тангенс угла между плоскостями ADC
и ABC
;
в) расстояние между прямыми DM
и AB
;
г) синус угла прямой DM
с плоскостью BCD
.
Ответ. а) 60^{\circ}
; б) 2
; в) \frac{\sqrt{15}}{10}
; г) \frac{\sqrt{15}}{10}
.
Решение. а) Пусть O
— середина ребра AB
. Тогда DO\perp AB
, а так как плоскости ADB
и ABC
перпендикулярны, то DO
— перпендикуляр к плоскости ABC
, т. е. высота тетраэдра (см. задачу 7712). Поскольку OM\parallel BC
как средняя линия треугольника ABC
, угол \alpha
между скрещивающимися прямыми DM
и BC
равен углу между пересекающимися прямыми DM
и OM
, т. е. острому углу при вершине M
прямоугольного треугольника DOM
с катетами OM=\frac{1}{2}
и DO=\frac{\sqrt{3}}{2}
. Значит,
\tg\alpha=\tg\angle DMO=\frac{DO}{OM}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}.
Следовательно, \alpha=60^{\circ}
.
б) Пусть K
— середина отрезка AM
. Тогда OK
— средняя линия прямоугольного треугольника ABM
, поэтому OK\parallel BM
и OK=\frac{1}{2}BM=\frac{\sqrt{3}}{4}
. Кроме того, OK\perp AM
, а по теореме о трёх перпендикулярах DK\perp AC
. Значит, \angle DKO=\beta
— линейный угол двугранного угла, образованного гранями ADC
и ABC
.
Из прямоугольного треугольника DOK
находим, что
\tg\beta=\tg\angle DKO=\frac{DO}{OK}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{4}}=2.
в) Пусть L
— середина ребра BC
, а N
— точка пересечения средней линии ML
треугольника ABC
с его медианой CO
. Тогда N
— общая середина отрезков ML
и CO
. Кроме того, ON\perp ML
, а по теореме о трёх перпендикулярах DN\perp ML
.
Прямая AB
параллельна ML
, лежащей в плоскости MDL
, поэтому прямая ML
параллельна этой плоскости (см. задачу 8002). Тогда расстояние d
между прямыми DM
и AB
равно расстоянию от любой точки прямой AB
(например, от точки O
) до плоскости MDL
(см. задачу 7889).
Пусть OH
высота прямоугольного треугольника DON
. Тогда OH
— перпендикуляр к плоскости MDL
, так как OH\perp DN
и OH\perp ML
. Значит, расстояние между прямыми DM
и AB
равно длине отрезка OH
. Следовательно,
d=OH=\frac{DO\cdot ON}{DN}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}}{\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{3}{16}}}=\frac{3}{2\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{10}.
г) Синус угла \gamma
наклонной MD
с плоскостью BCD
равен отношению расстояния h
от точки M
до плоскости BCD
к длине наклонной MD
.
Из прямоугольного треугольника DOM
находим, что
MD=\sqrt{DO^{2}+OM^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}=1.
Прямая MO
параллельна прямой BC
, лежащей в плоскости BCD
, поэтому прямая MO
параллельна этой плоскости. Значит, расстояние от точки M
до плоскости BCD
равно расстоянию до этой плоскости от точки O
.
Пусть OF
— перпендикуляр к BC
, а OP
— высота прямоугольного треугольника DOF
. Тогда OP
— перпендикуляр к плоскости BCD
. Прямоугольные треугольники DOF
и DON
равны по двум катетам, так как катет DO
общий, а
OF=\frac{1}{2}AL=\frac{\sqrt{3}}{4}=ON.
Значит, равны их соответствующие высоты, т. е.
h=OP=OH=\frac{\sqrt{15}}{10}.
Следовательно,
\sin\gamma=\frac{h}{MD}=\frac{\frac{\sqrt{15}}{10}}{1}=\frac{\sqrt{15}}{10}.
Источник: Школьные материалы. —