14295. Через каждую из двух данных скрещивающихся диагоналей боковых граней правильной треугольной призмы проведена плоскость, параллельная другой диагонали. Постройте сечения призмы этими плоскостями и докажите, что они равны. Вычислите их площадь, если сторона основания призмы равна a
, а высота призмы равна h
.
Ответ. \frac{1}{8}a\sqrt{3(a^{2}+4h^{2})}
.
Решение. Пусть ABCA_{1}B_{1}C_{1}
— данная правильная призма, BA_{1}
и CB_{1}
данные диагонали боковых граней AA_{1}B_{1}B
и BB_{1}C_{1}C
. Достроим треугольник BA_{1}B_{1}
до параллелограмма BA_{1}B_{1}P
. Тогда PB_{1}\parallel BA_{1}
, поэтому прямая B_{1}A
параллельна плоскости CB_{1}P
(см. задачу 8002). Эта прямая пересекает плоскость основания ABC
по прямой CP
, параллельной средней линии BK
треугольника ABC
, а плоскость основания A_{1}B_{1}C_{1}
— по прямой, параллельной CP
(см. задачу 8009), т. е. по медиане B_{1}K_{1}
треугольника A_{1}B{1}C_{1}
. Итак, сечение призмы плоскостью, проходящей через прямую CB_{1}
параллельно прямой BA_{1}
, — треугольник CB_{1}K_{1}
.
Поскольку CC_{1}
— перпендикуляр к плоскости A_{1}B_{1}C_{1}
, CK_{1}
— наклонная, а B_{1}K_{1}
— ортогональная проекция этой наклонной на плоскость A_{1}B_{1}C_{1}
, то по теореме о трёх перпендикулярах CK_{1}\perp B_{1}K_{1}
(см. задачу 7707). Следовательно, сечение пирамиды рассмотренной плоскостью — прямоугольный треугольник CB_{1}K_{1}
с прямым углом при вершине K_{1}
. Его площадь равна половине произведения катетов, т. е.
S_{\triangle CB_{1}K_{1}}=\frac{1}{2}B_{1}K_{1}\cdot CK_{1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+h^{2}}=\frac{1}{8}a\sqrt{3(a^{2}+4h^{2})}.
Аналогично строится второе сечение. Очевидно, что это треугольник, равный треугольнику CB_{1}K_{1}
по трём сторонам, следовательно, его площадь также равна \frac{1}{8}a\sqrt{3(a^{2}+4h^{2})}
.