14381. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
плоскость, проведённая через сторону AD
основания перпендикулярно к грани BSC
, делит эту грань на части, одинаковые по площади. Найдите полную поверхность пирамиды, если AD=a
.
Ответ. a^{2}(\sqrt{4+2\sqrt{2}}+1)
.
Решение. Пусть H
— центр квадрата ABCD
, K
и L
— середины рёбер AD
и BC
соответственно, плоскость сечения пересекает рёбра SB
и SA
в точках M
и N
соответственно, апофема SK
пересекает отрезок MN
в точке E
, а объём и полная поверхность данной пирамиды равны V
и S
соответственно. Тогда SH
— высота пирамиды, прямая MN
параллельна BC
(см. задачу 8004), а объём треугольной пирамиды SBCD
вдвое меньше объёма исходной пирамиды, так как высоты этих пирамид одинаковы, площадь основания первой вдвое меньше площади основания второй.
Поскольку прямая MN
разбивает грань BSC
на две равновеликие части, а MN\parallel BC
, то отношение площадей подобных треугольников MSN
и BSC
равно \frac{1}{2}
. Значит, коэффициент подобия этих треугольников равен \frac{1}{\sqrt{2}}
.
Плоскости AMN
и BSC
перпендикулярны и пересекаются по прямой MN
, а так как LE
— отрезок, соединяющий середины оснований AD
и MN
равнобедренной трапеции AMND
, то LE\perp MN
. Значит, LE
— перпендикуляр к плоскости BSD
(см. задачу 7712), и поэтому LE\perp SK
.
Пусть прямая, проведённая через точку H
параллельно LE
пересекает апофему SK
в точке T
. Тогда HT
— высота прямоугольного треугольника SHK
, проведённая из вершины прямого угла. Пусть SE=t
, тогда из подобия SK=t\sqrt{2}
, а так как HT
— средняя линия треугольника KEL
, то
KT=\frac{1}{2}EK=\frac{1}{2}(SK-SE)=\frac{1}{2}(t\sqrt{2}-t)=\frac{1}{2}t(\sqrt{2}-1).
По теореме о высоте прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла HK^{2}=KT\cdot SK
(см. задачу 2728), или
\frac{a^{2}}{4}=\frac{1}{2}t(\sqrt{2}-1)\cdot t\sqrt{2}=\frac{1}{2}t^{2}(2-\sqrt{2}),
откуда
t^{2}=\frac{a^{2}}{2(2-\sqrt{2})}=\frac{a^{2}(2+\sqrt{2})}{4}.
Тогда
SK^{2}=2t^{2}=\frac{a^{2}(2+\sqrt{2})}{2},~SK=\frac{a\sqrt{2}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}.
Следовательно, боковая поверхность пирамиды SABCD
равна
4S_{\triangle BSC}=4\cdot\frac{1}{2}BC\cdot SK=2a\cdot\frac{a\sqrt{2}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}=a^{2}\sqrt{4+2\sqrt{2}},
а её полная поверхность равна
4S_{\triangle BSC}+S_{ABCD}=a^{2}\sqrt{4+2\sqrt{2}}+a^{2}=a^{2}(\sqrt{4+2\sqrt{2}}+1).
Источник: Вступительный экзамен на химический факультет МГУ. — 1966, № 3, вариант 3
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — № 3, с. 45, вариант 3