14518. Найдите площадь полной поверхности призмы, описанной около сферы, если площадь основания призмы равна S
.
Ответ. 6S
.
Решение. Первый способ. Пусть радиус сферы равен r
, периметр основания призмы равен 2p
, боковое ребро равно l
, периметр перпендикулярного сечения призмы равен 2p'
, площадь перпендикулярного сечения равна S'
, а угол между боковым ребром и высотой призмы равен \alpha
.
Угол между плоскостью основания призмы и плоскостью перпендикулярного сечения равен углу между высотой призмы и её боковым ребром (см. задачу 8970), т. е. \alpha
, поэтому (см. задачи 8093 и 523)
S=\frac{S'}{\cos\alpha}=\frac{p'r}{\cos\alpha}=r\cdot\frac{p'}{\cos\alpha}=rp.
Площадь S_{1}
боковой поверхности призмы равна сумме площадей параллелограммов, одна сторона которых равна l
, а другая — стороне перпендикулярного сечения призмы, поэтому
S_{1}=l\cdot2p'=\frac{2r}{\cos\alpha}\cdot2p\cos\alpha=4pr=4S.
Следовательно, полная поверхность призмы равна
2S+S_{1}=2S+4S=6S.
Второй способ. Пусть радиус сферы равен r
, боковая поверхность призмы равна S_{1}
, а объём призмы равен V
. Тогда высота призмы равна диаметру сферы, а полная поверхность призмы равна 2S+S_{1}
, поэтому
V=\frac{1}{3}(S_{1}+2S)r=S\cdot2r,
Откуда находим, что
S_{1}+2S=6S.
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 6.65, с. 109
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 9.10, с. 144