14528. Боковые грани треугольной пирамиды равновелики и образуют с основанием углы \alpha
, \beta
и \gamma
. Найдите отношение радиуса шара, вписанного в пирамиду, к радиусу шара, касающегося основания пирамиды и продолжений боковых граней.
Ответ. \frac{3-\cos\alpha-\cos\beta-\cos\gamma}{3+\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma}
.
Решение. Пусть площадь каждой боковой грани пирамиды равна S
, площадь основания пирамиды равна s
, радиус вписанного в пирамиду шара равен r
, радиус шара, касающегося основания пирамиды и продолжений боковых граней, равен r'
, а объём пирамиды равен V
.
Из формулы для площади ортогональной проекции (см. задачу 8093) следует, что
s=S\cos\alpha+S\cos\beta+S\cos\gamma=S(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma),
а так как (см. задачи 7185 и 8606)
V=\frac{1}{3}(3S+s)r=\frac{1}{3}(3S+S(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma))r=
=\frac{1}{3}S(3+\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)r,
и
V=\frac{1}{3}(3S-s)r'=\frac{1}{3}S(3-\cos\alpha-\cos\beta-\cos\gamma)r',
то
\frac{1}{3}S(3+\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)r=\frac{1}{3}S(3-\cos\alpha-\cos\beta-\cos\gamma)r'.
Следовательно,
\frac{r}{r'}=\frac{3-\cos\alpha-\cos\beta-\cos\gamma}{3+\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma}.