14566. Дан параллелепипед ABCDA'B'C'D'
объёма 1 с основаниями ABCD
и A'B'C'D'
и боковыми рёбрами AA'
, BB'
, CC'
, DD'
. На рёбрах AB
, B'C'
, CD
и A'D'
отмечены точки K
, L
, M
и N
соответственно. Известно, что AK:KB=CM:MD=1:3
и B'L:LC'=D'N:NA'=1:2
. Найдите объём тетраэдра KLMN
.
Ответ. \frac{7}{36}
.
Решение. Положим CM=AK=t
, DM=BK=3t
, D'N=B'L=v
, A'N=C'L=2v
. Пусть угол между смежными сторонами параллелограмма ABCD
равен \alpha
, угол между прямыми NL
и KL
равен \beta
.
Отметим на рёбрах AD
и BC
точки соответственно N'
и L'
, для которых LL'\parallel AA'\parallel LL'
. Тогда KL'MN'
— параллелограмм (см. задачу 1860). Пусть его площадь равна S_{1}
. Тогда
S_{1}=S_{ABCD}-2S_{\triangle MCL'}-2S_{\triangle KAN'}=
=4t\cdot3v\sin\alpha-t\cdot2v\sin\alpha-3t\cdot v\sin\alpha=7tv\sin\alpha.
Пусть объём параллелепипеда равен V_{0}
(V_{0}=1
), высота параллелепипеда (расстояние между плоскостями оснований) равна h
, а искомый объём тетраэдра KLMN
равен V
. Тогда
V_{0}=AB\cdot BC\sin\alpha\cdot h=4t\cdot3v\sin\alpha\cdot h=12tv\sin\alpha\cdot h,
откуда
tv=\frac{V_{0}}{12h\sin\alpha}
Расстояние между скрещивающимися прямыми KM
и LN
равно расстоянию между содержащими их параллельными плоскостями, следовательно (см. задачи 7234 и 3018),
V=\frac{1}{6}KM\cdot LN\cdot h\sin\beta=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}KM\cdot L'N'\sin\beta\cdot h=\frac{1}{3}S_{1}\cdot h=
=\frac{1}{3}\cdot7tv\sin\alpha\cdot h=\frac{1}{3}\cdot7\cdot\frac{V_{0}}{12h\sin\alpha}\cdot h\sin\alpha=\frac{7}{36}.