14593. а) Докажите, что сумма косинусов двугранных углов равногранного тетраэдра равна 2.
б) Сумма плоских углов трёхгранного угла равна 180^{\circ}
Найдите сумму косинусов его двугранных углов.
Ответ. 1.
Решение. а) Сумма косинусов двугранных углов равногранного тетраэдра, прилежащих к одной грани, равна 1 (см. задачу 14217), а так как противолежащие двугранные углы равногранного тетраэдра попарно равны (см. задачу 7677), то сумма косинусов всех шести двугранных углов вдвое больше, т. е. равна 2.
б) Пусть A
— точка на ребре двугранного угла, отличная от его вершины S
. Отметим на двух других рёбрах точки B
и C
, для которых \angle SAB=\angle ASC
и \angle SAC=\angle ASB
. Тогда треугольники SCA
и ABS
равны по общей стороне SA
и двум прилежащим к ней углам. Значит, SC=AB
и SB=AC
. По условию сумма плоских углов при вершине S
, как и сумма углов треугольника ASC
, равна 180^{\circ}
, поэтому \angle CSA=\angle CSB
. Значит, треугольники SCA
и CSB
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому SA=BC
. Таким образом, противоположные рёбра тетраэдра ABCS
попарно равны. Следовательно, этот тетраэдр равногранный (см. задачу 7266), а значит, сумма косинусов его двугранных углов равна 1 (см. задачу 14217).