14606. Шар касается всех рёбер правильного тетраэдра с ребром 2a
. Найдите объём пересечения шара и тетраэдра.
Ответ. \frac{\pi a^{3}\sqrt{3}}{27}(8\sqrt{3}-9)
.
Решение. Пусть V_{1}
— объём шара, V_{2}
объём шарового сегмента, отсекаемого от шара плоскостью грани тетраэдра и лежащего вне тетраэдра. Тогда
V=V_{1}-4V_{2}.
Пусть O
— центр данного тетраэдра ABCD
, M
— точка касания шара с ребром AD
. Поскольку точка O
равноудалена от всех рёбер тетраэдра, она совпадает с центром шара, поэтому OM=R
— радиус шара. Тогда (см. задачу 7097) R=\frac{2a\sqrt{2}}{4}=\frac{a\sqrt{2}}{2}
.
По формуле для объёма шара (см. задачу 9062) находим, что
V_{1}=\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\pi a^{3}\sqrt{2}}{3}.
Поскольку расстояние d
от центра шара до плоскости каждой его грани равно радиусу вписанного в тетраэдр шара, а высота тетраэдра равна \frac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}
(см. задачу 7040), то
d=\frac{1}{4}\cdot\frac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}.
Высота h
рассматриваемого шарового сегмента равна разности радиуса шара и найденного расстояния d
, т. е.
h=R-d=\frac{a\sqrt{2}}{2}-\frac{a\sqrt{6}}{6}=\frac{a\sqrt{6}(\sqrt{3}-1)}{6}.
Тогда (см. задачу 9063)
V_{2}=\pi h^{2}\left(R-\frac{1}{3}h\right)=\left(\frac{\pi a\sqrt{6}(\sqrt{3}-1)}{6}\right)^{2}\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{6}(\sqrt{3}-1)}{6}\right)=
=\frac{\pi a^{3}(2-\sqrt{3})}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\left(1-\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi a^{3}\sqrt{2}(2-\sqrt{3})(2\sqrt{3}+1)}{6\cdot3\sqrt{3}}=
=\frac{\pi a^{3}\sqrt{2}(3\sqrt{3}-4)}{18\sqrt{3}}.
Следовательно,
V=V_{1}-4V_{2}=\frac{\pi a^{3}\sqrt{2}}{3}-\frac{4\pi a^{3}\sqrt{2}(3\sqrt{3}-4)}{18\sqrt{3}}=
=\frac{\pi a^{3}\sqrt{2}}{3}-\frac{2\pi a^{3}\sqrt{2}(3\sqrt{3}-4)}{9\sqrt{3}}=\frac{\pi a^{3}}{2}\left(1-\frac{2(3\sqrt{3}-4)}{3\sqrt{3}}\right)=
=\frac{\pi a^{3}\sqrt{2}(8-3\sqrt{3})}{9\sqrt{3}}=\frac{\pi a^{3}\sqrt{3}}{27}(8\sqrt{3}-9).