14621. Докажите, что сфера, вписанная в равногранный тетраэдр, касается всех граней восьмигранника, вершины которого — середины рёбер данного тетраэдра.
Решение. Пусть I
— центр сферы, вписанной в правильный тетраэдр ABCD
. Тогда I
совпадает с точкой G
пересечения медиан тетраэдра (см. задачи 7283 и 7280).
Плоскость \alpha
, проходящая через середины рёбер DA
, DB
и DC
, параллельна грани ABC
, поэтому \alpha
делит пополам высоту тетраэдра, проведённую из вершины D
, а также медиану DD_{0}
тетраэдра. Поскольку DG=\frac{1}{4}DD_{0}
(см. задачу 7110), то плоскость, проходящая через точку G
делит пополам любой общий перпендикуляр плоскостей ABC
и \alpha
. Аналогично для остальных трёх граней тетраэдра. Значит, точка I
пересечения таких четырёх плоскостей, равноудалена от плоскостей всех восьми граней восьмигранника из условия задачи. Следовательно, точка I
— центр сферы, касающейся плоскостей всех восьми его граней.
Кроме того, точка I
совпадает и с центром O
описанной сферы (см. задачу 7280), поэтому её ортогональная проекция O_{1}
на плоскость ABC
(она же точка касания вписанной сферы с этой плоскостью) — центр описанной окружности треугольника ABC
, а значит, ортоцентр треугольника с вершинами в серединах A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
сторон треугольника ABC
(см. 8-й способ решения задачи 1256). Поскольку треугольник ABC
остроугольный (см. задачу 8241), то подобный ему треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
тоже остроугольный. Следовательно, его ортоцентр лежит внутри треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Аналогично для каждой из трёх остальных граней восьмигранника, соответственно параллельных граням данного тетраэдра. Осталось доказать, что точка касания сферы с плоскостями, соответственно параллельными граням тетраэдра, лежат тоже внутри этих граней восьмигранника.
Пусть A_{2}
, B_{2}
, C_{2}
— середины рёбер DA
, DB
и DC
. Поскольку бимедианы любого тетраэдра пересекаются в одной точке (см. задачу 7103), совпадающей с точкой пересечения медиан тетраэдра, и делятся ею пополам, а в случае равногранного тетраэдра она эта точка совпадает с точкой I
, то рассматриваемый восьмигранник, как и сфера, симметричен относительно этой точки. Значит, точка касания вписанной сферы с плоскостью грани A_{2}B_{2}C_{2}
симметрична диаметрально противоположной точке касания сферы с гранью A_{1}B_{1}C_{1}
, а следовательно, тоже лежит внутри этой грани. Аналогично для каждой из трёх остальных трёх граней восьмигранника.
Таким образом, вписанная сфера данного равногранного тетраэдра касается всех восьми граней восьмигранника, причём в точках, лежащих внутри граней.