14643. Дан тетраэдр ABCD
. Точки K
, L
, M
, N
лежат на рёбрах AC
, AD
, DB
и BC
соответственно так, что четырёхугольник KLMN
— квадрат со стороной 2, AK:KC=2:3
.
а) Докажите, что BM:MD=2:3
.
б) Найдите расстояние от точки C
до плоскости KLMN
, если известно, что объём тетраэдра ABCD
равен 25.
Ответ. б) 5,4.
Решение. а) Четырёхугольник KLMN
— квадрат, поэтому прямые KN
и LM
параллельны. Через параллельные прямые KN
и LM
проведены плоскости соответственно ABC
и ABD
, пересекающиеся по прямой AB
. Значит, прямая KN\parallel AB
(см. задачу 8004). Аналогично, MN\parallel CD
параллельны. Следовательно, по теореме о пропорциональных отрезках
\frac{BM}{MD}=\frac{BN}{NC}=\frac{AK}{KC}=\frac{2}{3}.
Что и требовалось доказать.
б)
Первый способ. Расстояние h
от точки C
до плоскости KLM
равно высоте тетраэдра CKMN
, проведённой из вершины C
. Основание этого тетраэдра — прямоугольный треугольник KMN
, площадь которого равна половине площади квадрата KLMN
, т. е. 2, а так как \frac{BM}{BD}=\frac{2}{5}
, то h=\frac{2}{5}DH
, где DH
— высота исходного тетраэдра ABCD
. Кроме того, треугольник KCN
подобен треугольника ACB
с коэффициентом \frac{KC}{AC}=\frac{3}{5}
, поэтому S_{\triangle KCN}=\frac{9}{25}S_{\triangle ABC}
. Значит,
V_{CKMN}=\frac{1}{3}S_{\triangle KMN}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot\frac{9}{25}S_{\triangle ABC}\cdot\frac{2}{5}DH=\frac{9}{25}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DH=
=\frac{18}{125}V_{ABCD}=\frac{18}{125}\cdot25=\frac{18}{5}.
Следовательно,
h=\frac{3V_{CKMN}}{S_{\triangle KMN}}=\frac{\frac{54}{5}}{2}=\frac{27}{5}=5{,}4.
Второй способ. Противоположные рёбра AB
и CD
тетраэдра ABCD
соответственно параллельны соседним сторонам квадрата KLMN
, поэтому угол между прямыми AB
и CD
равен 90^{\circ}
. Из подобия находим, что
AB=\frac{5}{3}KN=\frac{10}{3},~CD=\frac{5}{2}MN=5.
Пусть d
— расстояние между прямыми. Тогда (см. задачу 7234)
25=V_{ABCD}=\frac{1}{6}AB\cdot CD\cdot d\sin90^{\circ}=\frac{1}{6}\cdot\frac{10}{3}\cdot5\cdot d\cdot1=\frac{25}{9}d,
откуда d=9
.
Пусть расстояние от точки C
до плоскости квадрата KLMN
равно h
. Наклонная CA
делится этой плоскостью в отношении \frac{CK}{KA}=\frac{3}{2}
, следовательно (см. задачу 9180),
h=\frac{3}{5}d=\frac{3}{5}\cdot9=\frac{27}{5}=5{,}4.