14659. Плоскость \alpha
пересекает рёбра AB
, BC
, CD
и DA
тетраэдра ABCD
в точках X
, Y
, Z
и T
соответственно. Оказалось, что точки Y
и T
лежат на окружности \omega
, построенной на отрезке XZ
как на диаметре. Точка P
отмечена в плоскости \alpha
так, что прямые PY
и PT
касаются окружности \omega
. Докажите, что середины рёбер AB
, BC
, CD
, DA
и точка P
лежат в одной плоскости.
Решение. Точки Y
и Z
лежат на окружности с диаметром XZ
, поэтому
\angle XYZ=90^{\circ}=\angle XTZ.
Обозначим через Q
точку пересечения прямых XY
и ZT
, через R
— точку пересечения прямых ZY
и XT
(рис. 1). Без ограничения общности можно считать, что точка Z
лежит на отрезках RY
и QT
. Поскольку точка R
лежит и в плоскости ABD
, и в плоскости BCD
, то она лежит на прямой BD
. Аналогично, точка Q
лежит на прямой AC
.
Заметим, что RY
и QT
— высоты треугольника XQR
. Тогда Z
— точка пересечения высот этого треугольника, и поэтому XZ\perp QR
. Пусть M
— середина отрезка отрезка QR
. Поскольку \angle QYR=90^{\circ}
, то
YM=MR=RQ
по свойству медианы прямоугольного треугольника (см. задачу 1109). Значит,
\angle MYR=\angle YRQ=90^{\circ}-\angle XQR=\angle ZXQ.
Следовательно, прямая YM
касается окружности \omega
(см. задачу 144). Аналогично, прямая TM
касается окружности \omega
, поэтому точки M
и P
совпадают.
Середины рёбер AB
, BC
, CD
, DA
лежат в одной плоскости \alpha
, поскольку эти середины — вершины параллелограмма.
Рассмотрим две параллельные плоскости \beta
и \gamma
, одна из которых содержит отрезок AC
, а другая — отрезок BD
. Геометрическое место середин отрезков, один из которых лежит на прямой BD
, а второй — на прямой AC
, есть плоскость (см. задачу 7232). Поскольку QR
и CB
— два таких отрезка, середина K
отрезка PY'
, где Y'
— середина ребра, тоже лежит в этой плоскости. Значит, в ней лежит и точка P
. Следовательно, середины всех пяти отрезков AB
, BC
, CD
, DA
и QR
(т. е. точка P
) лежат в одной плоскости \alpha
.