14670. Точка X
лежит внутри правильного тетраэдра ABCD
с ребром 1. Докажите, что сумма расстояний от неё до всех рёбер тетраэдра не меньше \frac{3}{\sqrt{2}}
, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда X
— центр тетраэдра.
Решение. Пусть R
и S
— середины рёбер AC
и BD
соответственно. Тогда RS=\frac{1}{\sqrt{2}}
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AC
и BD
(см. задачу 7046), а значит, кратчайшее расстояние между точками, одна из которых лежит на прямой AC
, а вторая — на прямой BD
равно \frac{1}{\sqrt{2}}
(см. задачу 7423).
Пусть точки P
и Q
— основания перпендикуляров, опущенных из точки X
на прямые AC
и BD
соответственно. Тогда по неравенству треугольника
XP+XQ\geqslant PQ\geqslant RS=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Аналогично, для оснований K
и L
перпендикуляров, опущенных из точки X
а прямые BC
и AD
соответственно, а также для оснований M
и N
перпендикуляров, опущенных из точки X
на прямые AB
и CD
соответственно, получим
XK+XL\geqslant\frac{1}{\sqrt{2}},~XM+XN\geqslant\frac{1}{\sqrt{2}}.
Следовательно, сумма расстояний от точки X
до всех рёбер тетраэдра не меньше \frac{3}{\sqrt{2}}
.
Отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер любого тетраэдра (бимедианы тетраэдра), пересекаются в одной точке (см. задачу 7103). В правильном тетраэдре эта точка называется центром правильного тетраэдра. Таким образом, доказанное неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда точка X
совпадает с центром тетраэдра.