14698. Точка O
расположена внутри тетраэдра ABCD
. Докажите, что сумма длин отрезков OA
, OB
, OC
и OD
не превосходит суммы длин всех рёбер тетраэдра.
Решение. Пусть плоскость AOB
пересекает ребро CD
в точке M
, а плоскость COD
пересекает ребро AB
в точке N
. Поскольку точка O
лежит внутри треугольника AMB
, то
AO+BO\leqslant AM+BM
(см. задачу 3502). Аналогично,
CO+BO\leqslant CN+DN.
Значит,
OA+OB+OC+OD\leqslant AM+BM+CN+DN.
Точка M
лежит на стороне CD
треугольника ACD
, поэтому отрезок AM
не превосходит наибольшей из сторон AC
и AD
(см. задачу 3501), а так как каждая сторона треугольника не превосходит его полупериметра (см. задачу 1507), то
AM\leqslant\frac{1}{2}(AC+AD+CD).
Аналогично,
BM\leqslant\frac{1}{2}(BC+CD+BD),~CN\leqslant\frac{1}{2}(AB+AC+BC),~DN\leqslant\frac{1}{2}(AB+AD+BD).
Сложив эти четыре неравенства, получим
AM+BM+CN+DN\leqslant AB+AC+AD+BC+BD+CD.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — , № 15.10, с. 241