14722. В основании призмы лежит равносторонний треугольник площади 1. Площади её боковых граней равны 3, 3 и 2. Найдите объём призмы.
Ответ. \sqrt[{4}]{{3}}
.
Решение. Заметим, что призма не может быть прямой: иначе все её боковые грани имели бы равные площади. Поскольку в основании призмы лежит равносторонний треугольник площади 1, его сторона равна a=\frac{2}{\sqrt[{4}]{{3}}}
.
Пусть площади граней ABB_{1}A_{1}
и ACC_{1}A_{1}
равны 3. Эти грани имеют равные площади, а их основания AB
и AC
также равны. Следовательно, высоты A_{1}M
и A_{1}K
этих граней равны между собой.
Пусть AA'
— высота призмы. Равные наклонные имеют равные проекции, поэтому A'K=A'M
. Значит, точка A'
равноудалена от прямых AB
и AC
. Рассмотрим два возможных случая.
1) Точка A'
лежит на прямой, содержащей биссектрису внутреннего угла A
треугольника ABC
. По теореме о трёх перпендикулярах AA_{1}\perp BC
, поэтому, BB_{1}\perp BC
. Значит, грань BCC_{1}B_{1}
— прямоугольник. Тогда BB_{1}=AA_{1}\gt A_{1}K
. Тогда
2=S_{BB_{1}C_{1}C}=a\cdot BB_{1}\gt a\cdot A_{1}K=S_{AA_{1}B_{1}B}=3.
Противоречие. Следовательно, этот случай невозможен.
2) Точка A'
лежит на прямой, содержащей биссектрису внешнего угла A
треугольника ABC
. Тогда AA'\parallel BC
и плоскости AA_{1}A'
и BCC_{1}B_{1}
параллельны, так как пересекающиеся прямые AA'
и AA_{1}
первой из них соответственно параллельны прямым BC
и BB_{1}
второй (см. задачу 8008 — признак параллельности плоскостей). Но плоскость AA_{1}A'
, проходящая через прямую A_{1}A'
, перпендикулярную плоскости ABC
, перпендикулярна плоскости ABC
(см. задачу 7710 — признак перпендикулярности плоскостей). Значит, плоскость BCC_{1}B_{1}
тоже перпендикулярна плоскости ABC
, и тогда высота параллелограмма BCC_{1}B_{1}
совпадает с высотой призмы (см. задачу 7712) и равна \frac{2}{a}=\sqrt[{4}]{{3}}
. Поскольку площадь основания призмы равна 1, её объём равен \sqrt[{4}]{{3}}
.
Несложно понять, что такая призма существует.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2024, заключительный этап, 11 класс, задача 7, вариант 1