14729. Равнобедренные треугольники
ABC
и
A'B'C'
лежат в параллельных плоскостях так, что точка
C'
равноудалена от вершин треугольника
ABC
, а точки
A'
и
B'
удалены на такое же расстояние от прямых, содержащих стороны этого треугольника. Найдите отношение площадей треугольников
A'B'C'
и
ABC
.
Ответ.
\sqrt{2}
.
Решение. Из условия задачи следует, что ортогональная проекция точки
C'
на плоскость
ABC
— центр
O
окружности радиуса
R
, описанной около треугольника
ABC
(см. задачу 7163).
Пусть точки
P
и
Q
— проекции точек соответственно
A'
и
B'
на плоскость
ABC
. Тогда либо обе эти точки являются центрами вневписанных окружностей треугольника
ABC
, либо одна из них — центр вписанной окружности, а другая — центр вневписанной (см. примечание 1 к задачу 7167). Поскольку радиусы этих окружностей также равны
R
(ортогональные проекции равных наклонных равны), то второй случай невозможен. Значит, точки
P
и
Q
— центры вневписанных окружностей, касающихся боковых сторон треугольника
ABC
. Тогда
PQ
— основание равнобедренного треугольника
PQO
, равного треугольнику
A'B'C'
.
Пусть
AB
— основание равнобедренного треугольника
ABC
. Докажем, что если в этом треугольнике равны радиусы описанной и вневписанных окружностей (касающихся сторон
AC
и
BC
), то угол
C
прямой (см. рис.).
Действительно, биссектрисы внешних углов при вершине
C
, на которых лежат центры
P
и
Q
вневписанных окружностей, параллельны
AB
(см. задачу 1174), поэтому расстояние от точки
C
до прямой
AB
равно радиусу вневписанной окружности и, как было доказано ранее, равно радиусу
OC
описанной окружности. При этом, точки
C
и
O
лежат на серединном перпендикуляре к отрезку
AB
, поэтому
O
— середина
AB
. Следовательно, треугольник
ABC
прямоугольный. Таким образом, у треугольников
ABC
и
PQO
основания
AB
и
PQ
параллельны, а высота
CO
общая.
Пусть
QL
— перпендикуляр, опущенный из точки
Q
на
BC
. Поскольку
AB=2R,~PQ=2CQ=\frac{2QL}{\sin\angle BCQ}=\frac{2QL}{\sin45^{\circ}}=2R\sqrt{2},

то
\frac{S_{\triangle A'B'C'}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{S_{\triangle PQO}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{PQ}{AB}=\frac{2R\sqrt{2}}{2R}=\sqrt{2}.

Источник: Московская математическая регата. — 2024, 10 класс, задача 4.2