14777. Пусть a
, b
и c
— любые действительные числа, для которых |a+b+c|=1
. Докажите, что a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant\frac{1}{\sqrt{3}}
.
Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz
.
Первый способ. Уравнение |x+y+z|=1
, или x+y+z=\pm1
, задаёт две параллельные плоскости, симметричные относительно начала координат O(0;0;0)
(см. задачу 7564) и удалённые него на расстояние
d=\frac{|1\cdot0+1\cdot0+1\cdot0\pm1|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}
(см. задачу 7563).
Расстояние от точки O
до любой точки M(x;y;z)
каждой из этих плоскостей не меньше d
, поэтому
x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant\frac{1}{\sqrt{3}}.
Отсюда следует утверждение задачи.
Второй способ. Рассмотрим векторы \overrightarrow{m}=(a;b;c)
и \overrightarrow{n}=(1;1;1)
. Тогда
|m\cdot n|=|a\cdot1+b\cdot1+c\cdot1|=|a+b+c|=1,~|\overrightarrow{m}|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}},~|\overrightarrow{n}|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}.
Поскольку |\overrightarrow{m}\overrightarrow{n}|\leqslant|\overrightarrow{m}|\cdot|\overrightarrow{n}|
(см. задачу 4900), получаем
1\leqslant\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\cdot\sqrt{3}.
Следовательно,
a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant\frac{1}{\sqrt{3}}.
Третий способ. Рассмотрим векторы \overrightarrow{p}=(a;b;c)
, \overrightarrow{q}=(b;c;a)
и \overrightarrow{q}=(c;a;b)
. Тогда
\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}+\overrightarrow{r}=(a+b+c;b+c+a;c+a+b)=(1;1;1),
\sqrt{3}=|\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}+\overrightarrow{r}|\leqslant|\overrightarrow{p}|+|\overrightarrow{q}|+|\overrightarrow{r}|=3\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.
Следовательно,
a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant\frac{1}{\sqrt{3}}.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — № 8.2, с. 70