14824. Внутри тетраэдра ABCD
взяли точку O
. Оказалось, что тетраэдры OABC
, OBCD
, OACD
и OABD
равновелики. Докажите, что сумма векторов \overrightarrow{OA}
, \overrightarrow{OB}
, \overrightarrow{OC}
и \overrightarrow{OD}
равна нулевому вектору.
Решение. Пусть плоскость BOC
пересекает ребро AD
в точке M
. Тетраэдры OABC
и OBCD
с общим основанием BOC
равновелики, поэтому их высоты, проведённые из вершин A
и D
равны. Значит, MA=MD
. Аналогично получим, что каждая из плоскостей AOB
, AOC
, AOD
, BOD
и COD
пересекает рёбра CD
, BD
, BD
, AC
и AB
в их серединах.
Пусть N
, K
и L
— середины отрезков BC
, CD
и AC
. Тогда по построению точек M
и N
точка O
лежит на отрезке MN
. Аналогично, точка O
лежит на остальных двух отрезках, соединяющих середины скрещивающихся рёбер тетраэдра (и делит каждый из них пополам), а значит, совпадает с точкой G
пересечения медиан тетраэдра (см. задачи 7103 и 7108). Четырёхугольник KNLM
— параллелограмм, следовательно (см. задачу 4500),
\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})+(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})=
=2\overrightarrow{OL}+2\overrightarrow{OK}=2(\overrightarrow{OL}+\overrightarrow{OK})=2\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}.
Источник: Журнал «Квант». — 1988, № 8, с. 57, задача 13