14824. Внутри тетраэдра
ABCD
взяли точку
O
. Оказалось, что тетраэдры
OABC
,
OBCD
,
OACD
и
OABD
равновелики. Докажите, что сумма векторов
\overrightarrow{OA}
,
\overrightarrow{OB}
,
\overrightarrow{OC}
и
\overrightarrow{OD}
равна нулевому вектору.
Решение. Пусть плоскость
BOC
пересекает ребро
AD
в точке
M
. Тетраэдры
OABC
и
OBCD
с общим основанием
BOC
равновелики, поэтому их высоты, проведённые из вершин
A
и
D
равны. Значит,
MA=MD
. Аналогично получим, что каждая из плоскостей
AOB
,
AOC
,
AOD
,
BOD
и
COD
пересекает рёбра
CD
,
BD
,
BD
,
AC
и
AB
в их серединах.
Пусть
N
,
K
и
L
— середины отрезков
BC
,
CD
и
AC
. Тогда по построению точек
M
и
N
точка
O
лежит на отрезке
MN
. Аналогично, точка
O
лежит на остальных двух отрезках, соединяющих середины скрещивающихся рёбер тетраэдра (и делит каждый из них пополам), а значит, совпадает с точкой
G
пересечения медиан тетраэдра (см. задачи 7103 и 7108). Четырёхугольник
KNLM
— параллелограмм, следовательно (см. задачу 4500),
\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})+(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})=

=2\overrightarrow{OL}+2\overrightarrow{OK}=2(\overrightarrow{OL}+\overrightarrow{OK})=2\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}.

Источник: Журнал «Квант». — 1988, № 8, с. 57, задача 13