14982. В треугольной пирамиде ABCD
стороны основания ABC
равны AB=10
, AC=8
, BC=6
, а высота DP
пирамиды равна 12. Биссектриса BP
угла ABC
и пересекает ребро AC
в точке E
, при этом BP=2BE
. Найдите площадь грани ABD
.
Ответ. 30\sqrt{5}
.
Решение. Треугольник ABC
прямоугольный (см. задачу 1972), так как
AC^{2}+BC^{2}=64+36=100=AB^{2}.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{AE}{CE}=\frac{AB}{BC}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}~\Rightarrow~AE=8,~CE=3.
Опустим перпендикуляры PQ
и EQ
на прямую AB
. Точка E
лежит на биссектрисе угла ABC
, поэтому она равноудалена от его сторон BA
и BC
(см. задачу 1138). Значит, EG=CE=3
. Поскольку BP=2BE
, отрезок EG
— средняя линия треугольника BQP
, поэтому PQ=2AE=6
.
По теореме о трёх перпендикулярах DQ\perp AB
, поэтому DQ
— высота треугольника ABD
. По теореме Пифагора
DQ=\sqrt{PQ^{2}+DP^{2}}=\frac{144+36}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}.
Следовательно,
S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot DQ=\frac{1}{2}\cdot10\cdot6\sqrt{5}=30\sqrt{5}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1996, задача 5, вариант 1.2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1996 с. 169, задача 5, вариант 1.2