15009. В пирамиде ABCD
грани ABC
и ABD
перпендикулярны, AB=2
, AC=BC=\sqrt{5}
, AD=BD=\sqrt{10}
. Через прямые AD
и BC
проведены параллельные плоскости. Найдите расстояние между этими плоскостями.
Ответ. \frac{12}{7}
.
Указание. Поскольку плоскости ABC
и ABD
перпендикулярны, высота треугольника ADB
, проведённая из вершины D
, лежит в плоскости ADB
(см. задачу 7710), а так как треугольника ADC
равнобедренный, то O
— середина ребра AB
, и CO
— высота равнобедренного треугольника ADB
. По теореме Пифагора
OD=\sqrt{DA^{2}-OA^{2}}=\sqrt{10-1}=3,~OC=\sqrt{CA^{2}-OA^{2}}=\sqrt{5-1}=2.
Достроим треугольник ABD
до параллелограмма ADBM
. Тогда OM=OC=2
и AM\parallel BC
. Расстояние d
между плоскостями из условия задачи равно расстоянию от точки B
до плоскости ADM
, проходящей через прямую AD
и прямую AM
, параллельную прямой BC
.
Введём прямоугольную систему координат Oxyz
, направив ось Ox
по лучу OC
, ось Oy
— по лучу OB
, а ось Oz
— по лучу OD
. Тогда плоскость ADM
пересекает оси координат в точках C(2;0;0)
, B(0;1;0)
и M(-2;0;0)
, уравнение этой плоскости имеет вид (уравнение плоскости в отрезках, см. задачу 7564)
\frac{x}{-2}+\frac{y}{1}+\frac{z}{3}=1,~\mbox{или}~3x-6y-2z+6=0.
Следовательно (см. задачу 7563), расстояние d
от точки B(0;1;0)
равно
d=\frac{|3\cdot0-1\cdot6-2\cdot0+6|}{\sqrt{(-3)^{2}+6^{2}+(-2)^{2}}}=\frac{12}{7}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1999, задача 5, вариант 1.4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1999 с. 184, задача 5, вариант 1.4