15019. В основании треугольной пирамиды SABC
лежит треугольник ABC
со сторонами AB=\sqrt{3}
, BC=5
и AC=2\sqrt{7}
. Все боковые рёбра пирамиды равны 4. Сфера, центр которой лежит на продолжении ребра BS
за точку S
, касается плоскости основания пирамиды и проходит через точку S
. Найдите радиус сферы.
Ответ. 12.
Указание. Треугольник ABC
прямоугольный, основание высоты SH
пирамиды — середина H
его гипотенузы AC
. Отсюда BH=\sqrt{7}
, SH=3
. Пусть O
— центр сферы, M
— точка её касания с плоскостью основания. Если R
— искомый радиус, то SO=OM=R
, BO=R+4
, и R
можно найти из подобия треугольников OBM
и SBH
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2000, задача 5, вариант 2.2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2000 с. 190, задача 5, вариант 2.2