15019. В основании треугольной пирамиды SABC
лежит треугольник ABC
со сторонами AB=\sqrt{3}
, BC=5
и AC=2\sqrt{7}
. Все боковые рёбра пирамиды равны 4. Сфера, центр которой лежит на продолжении ребра BS
за точку S
, касается плоскости основания пирамиды и проходит через точку S
. Найдите радиус сферы.
Ответ. 12.
Указание. Треугольник ABC
прямоугольный, основание высоты SH
пирамиды — середина H
его гипотенузы AC
. Отсюда BH=\sqrt{7}
, SH=3
. Пусть O
— центр сферы, M
— точка её касания с плоскостью основания. Если R
— искомый радиус, то SO=OM=R
, BO=R+4
, и R
можно найти из подобия треугольников OBM
и SBH
.
Решение. Поскольку
AB^{2}+BC^{2}=3+25=28=AC^{2},
треугольник ABC
— прямоугольный с гипотенузой AC
(см. задачу 1972).
Пусть SH
— высота пирамиды. Поскольку все боковые ребра SA
, SB
и SC
пирамиды равны, высота пирамиды проходит через центр описанной около основания ABC
окружности (см. задачу 7163), т. е. точка H
— середина гипотенузы AC
(см. задачу 8). Значит,
BH=\sqrt{7},~SH=\sqrt{SB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{16-7}=3.
Пусть O
— центр данной сферы радиуса R
, M
— точка касания с плоскостью ABC
, тогда OM
и SH
параллельны как перпендикуляры к плоскости основания, а треугольники BOM
и BSH
подобны. Тогда
OB=OS+SB=R+4,~OM=R.
Из подобия треугольников получаем
\frac{OM}{SH}=\frac{OB}{SB},~\mbox{или}~\frac{R}{3}=\frac{R+4}{4}.
Следовательно, R=12
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2000, задача 5, вариант 2.2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2000, с. 190, задача 5, вариант 2.2; 2000, с. 91, задача 5, вариант 2.1
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 2000, задача 5, вариант 2.1