15042. В основании правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
лежит квадрат ABCD
со стороной 2, боковые рёбра пирамиды равны \sqrt{7}
. Через середины M
и N
рёбер SA
и SD
перпендикулярно плоскости SBC
проведена плоскость, пересекающая рёбра SC
и SB
в точках K
и L
. Найдите объём пирамиды SMNKL
.
Ответ. \frac{5\sqrt{5}}{54}
.
Решение. Пусть H
— точка пересечения диагоналей квадрата. Тогда SH
— высота данной пирамиды. Проведём плоскость SPQ
через апофемы SP
и SQ
пирамиды, лежащие в боковых гранях ASB
и BSC
соответственно. Тогда PQ=AB=2
.
Пусть проведённая плоскость пересекает отрезок MN
в точке R
, а отрезок KL
— в точке T
. Тогда R
— середина SP
, причём RT\perp SQ
(см. задачу 7710). Плоскость KLMN
проходит через прямую MN
, параллельную плоскости BSC
и пересекает её по прямой KN
. Следовательно (см. задачу 8003), KL\parallel BC\parallel AD\parallel MN
. Значит,MNKL
— трапеция. По условию плоскости BSC
и MNKL
перпендикулярны, поэтому RT\perp KL
, т. е. RT
— высота трапеции.
По теореме Пифагора находим
SP=SQ=\sqrt{SB^{2}-BQ^{2}}=\sqrt{7-1}=\sqrt{6},
SH=\sqrt{SA^{2}-AH^{2}}=\sqrt{(\sqrt{7})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{5}.
Пусть PE
— высота равнобедренного треугольника PSQ
, опущенная на его боковую сторону SQ
. Тогда (см. задачу 1967)
PE=\frac{PQ\cdot SH}{SQ}=\frac{2\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{6}},
а так как RT\parallel PE
, а R
— середина апофемы SP
, то RT
— средняя линия треугольника SPE
. Значит, RT=\frac{1}{2}PE=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}
. Из прямоугольного треугольника RTS
находим
ST=\sqrt{SR^{2}-RT^{2}}=\sqrt{\frac{SP^{2}}{4}-RT^{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}-\frac{5}{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}.
Треугольник KSL
подобен треугольнику CSB
с коэффициентом
\frac{ST}{SQ}=\frac{\frac{2}{\sqrt{6}}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{3},
поэтому KL=\frac{1}{3}BC=\frac{2}{3}
.
Пусть S_{1}
— площадь трапеции MNKL
с основаниями MN=1
, KL=\frac{2}{3}
и высотой RT=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}
, V
— искомый объём пирамиды SMNKL
с высотой ST=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}
. Тогда
S_{1}=\frac{MN+KL}{2}\cdot RT=\frac{1+\frac{2}{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}=\frac{5\sqrt{5}}{6\sqrt{6}}.
Следовательно,
V=\frac{1}{3}S_{1}\cdot ST=\frac{1}{3}\cdot\frac{5\sqrt{5}}{6\sqrt{6}}\cdot\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{5\sqrt{5}}{54}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2003, задача 5, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2003 с. 204, задача 5, вариант 2.1