16016. Пусть r_{1}
, r_{2}
, r_{3}
— произвольные положительные числа. Докажите, что существует единственный треугольник, радиусы вневписанных окружностей которого равны r_{1}
, r_{2}
, r_{3}
, и найдите стороны этого треугольника.
Ответ. \frac{r_{1}(r_{2}+r_{3})}{\sqrt{r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}}}
, \frac{r_{2}(r_{1}+r_{3})}{\sqrt{r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}}}
, \frac{r_{3}(r_{1}+r_{2})}{\sqrt{r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}}}
.
Решение. Докажем, для для любых трёх положительных чисел r_{1}
, r_{2}
, r_{3}
существует один и только один треугольник, для которого эти числа — радиусы вневписанных окружностей, а стороны равны
a=\frac{r_{1}(r_{2}+r_{3})}{\sqrt{r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}}},~b=\frac{r_{2}(r_{1}+r_{3})}{\sqrt{r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}}},~c=\frac{r_{3}(r_{1}+r_{2})}{\sqrt{r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}}}.
Единственность. Предположим, что такой треугольник существует, причём r_{a}=r_{1}
, r_{b}=r_{2}
, r_{c}=r_{3}
— радиусы его вневписанных окружностей, касающихся сторон, равных a
, b
, c
соответственно. Пусть полупериметр треугольника равен p
, площадь равна S
, а радиус вписанной окружности равен r
. Тогда
S^{2}=rr_{1}r_{2}r_{3},~S^{2}=r^{2}p^{2},~S=r_{1}(p-a)=r_{2}(p-b)=r_{3}(p-c),
\frac{1}{r}=\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{2}}+\frac{1}{r_{3}}
(см. задачи 6144, 452, 392). Значит,
rr_{1}r_{2}r_{3}=r^{2}p^{2}~\Rightarrow~p^{2}=\frac{r_{1}r_{2}r_{3}}{r},
\frac{1}{r}=\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{2}}+\frac{1}{r_{3}}~\Rightarrow~r=\frac{r_{1}r_{2}r_{2}}{r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}}~\Rightarrow
\Rightarrow~S^{2}=rr_{1}r_{2}r_{3}=S\cdot S=pr\cdot(p-a)r_{1}=rr_{1}p(p-a)~\Rightarrow
\Rightarrow~p(p-a)=r_{2}r_{3}~\Rightarrow~a=\frac{p^{2}-r_{2}r_{3}}{p}=\frac{r_{1}(r_{2}+r_{3})}{\sqrt{r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}}}.
Аналогично,
b=\frac{r_{2}(r_{1}+r_{3})}{\sqrt{r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}}},~c=\frac{r_{3}(r_{1}+r_{2})}{\sqrt{r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}}}.
Единственность доказана.
Существование. Поскольку
b+c-a=\frac{r_{2}(r_{1}+r_{3})}{\sqrt{r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}}}+\frac{r_{3}(r_{1}+r_{2})}{\sqrt{r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}}}-\frac{r_{1}(r_{2}+r_{3})}{\sqrt{r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}}}=
=\frac{(r_{1}r_{2}+r_{2}r_{3})+(r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3})-(r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3})}{\sqrt{r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}}}=\frac{2r_{2}r_{3}}{\sqrt{r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}}}\gt0,
и аналогично,
a+b-c=\frac{2r_{1}r_{2}}{\sqrt{r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}}}\gt0,~a+c-b=\frac{2r_{1}r_{3}}{\sqrt{r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}}}\gt0,
то треугольник со сторонами, равными a
, b
и c
, существует, причём его полупериметр равен
p=\frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{r_{1}(r_{2}+r_{3})}{2\sqrt{r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}}}+\frac{r_{2}(r_{1}+r_{3})}{2\sqrt{r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}}}+\frac{r_{3}(r_{1}+r_{2})}{2\sqrt{r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}}}=
=\sqrt{r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}}.
Если S
— его площадь, а r_{a}
, r_{b}
, r_{c}
— радиусы вневписанных окружностей, то
p-a=\sqrt{r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}}-\frac{r_{1}(r_{2}+r_{3})}{\sqrt{r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}}}=\frac{r_{2}r_{3}}{p},
аналогично,
p-b=\frac{r_{1}r_{3}}{p},~p-c=\frac{r_{2}r_{3}}{p},
а по формуле Герона
S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{p\cdot\frac{r_{2}r_{3}}{p}\cdot\frac{r_{1}r_{3}}{p}\cdot\frac{r_{1}r_{2}}{p}}=\frac{r_{1}r_{2}r_{3}}{p}.
Следовательно,
r_{a}=\frac{S}{p-a}=\frac{\frac{r_{1}r_{2}r_{3}}{p}}{\frac{r_{2}r_{3}}{p}}=r_{1},
и аналогично,
r_{b}=r_{2},~r_{c}=r_{3}.
Существование доказано.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1984, № 2, задача 786 (1982, с. 277), с. 55