16072. Точка
P
лежит внутри вписанного четырёхугольника
ABCD
, причём
\angle BPC=\angle BAP+\angle PDC
. Точки
E
,
F
и
G
— проекции точки
P
на
AB
,
AD
и
DC
соответственно. Докажите, что треугольник
FEG
подобен треугольнику
PBC
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Пусть
\Gamma
,
\Gamma_{1}
и
\Gamma_{2}
— описанные окружности четырёхугольника
ABCD
и треугольников
PAB
и
PCD
соответственно.
От луча
PB
в полуплоскость, содержащую точку
C
, отложим угол
BPT
, равный углу
BAP
. Тогда
\angle TPC=\angle BPC-\angle BPT=\angle BPC-\angle BAP=\angle PDC.

Значит, прямая
PT
касается и окружности
\Gamma_{1}
, и окружности
\Gamma_{2}
(см. задачу 144), а так как
AB
и
CD
— общие хорды окружностей
\Gamma
,
\Gamma_{1}
и
\Gamma
,
\Gamma_{2}
соответственно, то прямые
PT
,
AB
и
CD
— радикальные оси окружностей
\Gamma_{1}
и
\Gamma_{2}
,
\Gamma
и
\Gamma_{1}
,
\Gamma
и
\Gamma_{2}
— пересекаются в радикальном центре
Q
этих трёх окружностей (см. задачи 6392 и 6393).
Из точек
E
и
F
отрезок
AP
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром
AP
. Тогда
\angle FEP=\angle FAP=\angle DAP.

Аналогично, точки
F
,
D
,
G
и
P
лежат на одной окружности, поэтому
\angle BPC=\angle BAP+\angle PDC=\angle EFP+\angle PFG=\angle EFG.

Из точек
E
и
G
отрезок
PQ
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром
PQ
, поэтому
\angle GEP=\angle GQP=\angle DQP.

Кроме того,
\angle DAP+\angle QPA=\angle QDA+\angle DQP.

Значит,
\angle FEG=\angle FEP-\angle GEP=\angle DAP-\angle DQP=\angle QDA-\angle QPA,

а так как четырёхугольник
ABCD
вписанный, то
\angle QDA=\angle QBC
. Кроме того,
PQ
— касательная к окружности
\Gamma_{1}
, поэтому
\angle QPA=\angle PBA
. Таким образом,
\angle FEG=\angle QDA-\angle QPA=\angle QBC-\angle PBA=\angle PBC.

Следовательно, треугольник
FEG
подобен треугольнику
PBC
по двум углам. Что и требовалось доказать.
Если точка
Q
лежит на продолжении стороны
AB
за точку
B
, решение аналогично, а если
AB\parallel CD
, то
PT\parallel AB\parallel CD
, то точки
E
,
P
и
G
лежат на одной прямой, поэтому треугольники
PAD
и
PBC
равны (они симметричны относительно прямой
EG
). Тогда из подобия треугольников
FEG
и
PAD
(по двум углам) следует подобие треугольников
FEG
и
PBC
.

Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1993, № 4, задача 1741 (1992, с. 138), с. 114