16087. Окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
касаются внешним образом в точке W
и каждая из них касается внутренним образом окружности \Gamma
в точках D
и E
соответственно. Хорда BC
окружности \Gamma
касается окружностей \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
в различных точках E
и H
соответственно. Общая касательная окружностей \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
, проведённая в точке W
, пересекает окружность \Gamma
в точке A
, лежащей с окружностями \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
по одну сторону от прямой BC
. Докажите, что W
— центр вписанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Пусть касательная к окружности \Gamma
, параллельная хорде BC
и лежащая с окружностями \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
по разные стороны от прямой BC
, касается окружности \Gamma
в точке V
. Тогда V
— середина не содержащей точки A
дуги BC
окружности \Gamma
(см. задачу 1734), поэтому AV
— биссектриса угла BAC
(см. задачу 430).
Из леммы Архимеда о сегменте (см. задачу 89) следует что прямые DE
и FH
пересекаются в точке V
. Общая касательная WA
тоже проходит через точку V
(см. задачу 4853), поэтому точка W
лежит на биссектрисе угла BAC
.
Кроме того, поскольку
\angle BCV=\angle CBV=\angle CFV,
треугольники VHC
и VCF
с общим углом при вершине V
подобны по двум углам, поэтому
\frac{VC}{VF}=\frac{VH}{VC}~\Rightarrow~VC^{2}=VH\cdot VF.
Тогда по теореме о касательной и секущей
VC^{2}=VH\cdot VF=VW^{2}~\Rightarrow~VB=VC=VW.
Таким образом, точка W
, лежащая на биссектрисе угла BAC
, такова, что VW=VA=VB
. Тогда из теоремы о трилистнике (см. задачу 788) следует, что W
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
. Что и требовалось доказать.