16124. Пусть S
— площадь треугольника, r
— радиус его вписанной окружности, а r_{a}
, r_{b}
и r_{c}
— радиусы его вневписанных окружностей. Докажите, что
r^{2}+r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}\geqslant4S.
Решение. Пусть p
— полупериметр треугольника, а r_{a}
, r_{b}
и r_{c}
— радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон, равных a
, b
и c
соответственно. Тогда (см. задачи 452 и 392)
r=\frac{S}{p},~r_{a}=\frac{S}{p-a},~r_{b}=\frac{S}{p-b},~r_{a}=\frac{S}{p-c}.
Следовательно,
r^{2}+r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}=\frac{S^{2}}{p^{2}}+\frac{S^{2}}{(p-a)^{2}}+\frac{S^{2}}{(p-b)^{2}}+\frac{S^{2}}{(p-c)^{2}}=
=S^{2}\left(\frac{1}{p^{2}}+\frac{1}{(p-a)^{2}}+\frac{1}{(p-b)^{2}}+\frac{1}{(p-c)^{2}}\right)\geqslant
\geqslant S^{2}\cdot4\sqrt[{4}]{{\frac{1}{p^{2}}\cdot\frac{1}{(p-a)^{2}}\cdot\frac{1}{(p-b)^{2}}\cdot\frac{1}{(p-c)^{2}}}}=\frac{4S^{2}}{S}=4S
(см. задачи 3399 и 2730).