16246. Дан треугольник ABC
с острыми углами при вершинах B
и C
; AH
— высота треугольника, а r
, r_{1}
и r_{2}
— радиусы вписанных окружностей треугольников ABC
, AHB
и AHC
соответственно. Докажите, что величина r+r_{1}+r_{2}-AH
положительна, отрицательна или равна 0
в зависимости от того, угол при вершине A
острый, тупой или прямой соответственно.
Решение. Пусть вписанная окружность треугольника ABC
касается его сторон AB
, BC
и CA
в точках M
, N
и K
соответственно. Обозначим AM=AN=d
, p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда (см. задачу 219)
AN=AM=p-a=\frac{b+c-a}{2},~BK=BM=c-d,~CK=CN=b-d.
Обозначим AH=h
, BH=c'
и CH=b'
(заметим, что точка H
лежит на отрезке BC
(см. задачу 127)). Тогда (см. задачу 217)
r_{1}=\frac{c'+h-c}{2},~r_{2}=\frac{b'+h-b}{2},
поэтому
h-r_{1}-r_{2}=h-\frac{c'+h-c}{2}-\frac{b'+h-b}{2}=
=\frac{2h-2h+(b+c)-(c'+b')}{2}=\frac{b+c-a}{2}=d.
Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Прямоугольные треугольники AMI
и ANI
равны.
Если \angle BAC\lt90^{\circ}
, то \angle BAI=\frac{1}{2}\angle BAC\lt45^{\circ}
, поэтому d=AM\gt IM=r
, или
h-r_{1}-r_{2}\gt r,~\mbox{или}~r+r_{1}+r_{2}-AH\gt0.
Если \angle BAC\gt90^{\circ}
, то \angle BAI\gt45^{\circ}
, поэтому d=AM\lt IM=r
, или
h-r_{1}-r_{2}\lt r~\mbox{или}~r+r_{1}+r_{2}-AH\lt0.
Если \angle BAC=90^{\circ}
, то \angle BAI=45^{\circ}
, поэтому d=AM=IM=r
, или
h-r_{1}-r_{2}=r~\mbox{или}~r+r_{1}+r_{2}-AH=0.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2007, № 1, задача 3108, (2006, с. 45, 48), с. 57