16255. Радиус описанной окружности нетупоугольного треугольника ABC
со сторонами BC=a
, CA=b
и AB=c
и противоположными им углами соответственно \alpha
, \beta
и \gamma
равен R
. Докажите, что
a\cos^{3}\alpha+b\cos^{3}\beta+c\cos^{3}\gamma\leqslant\frac{abc}{4R^{2}}.
Решение. Поскольку
\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}~\Rightarrow~2\alpha+2\beta+2\gamma=360^{\circ},
то
\sin4\alpha+\sin4\beta+\sin4\gamma=2\sin(2\alpha+2\beta)\cos(2\alpha-2\beta)+\sin4\gamma=
=2\sin(360^{\circ}-2\alpha-2\beta)\cos(2\alpha-2\beta)+2\sin2\gamma\cos2\gamma=
=-2\sin2\gamma\cos(2\alpha-2\beta)+2\sin2\gamma\cos2\gamma=
=-2\sin2\gamma(\cos(2\alpha-2\beta)-\cos2\gamma)=-2\sin2\gamma(-2\sin(-2\beta)\sin2\alpha)=
=-4\sin2\alpha\sin2\beta\sin2\gamma.
Пусть S
— площадь треугольника ABC
. Тогда (см. задачи 4259, 4258 и 11287)
S=\frac{abc}{4R}~\mbox{и}~S=2R^{2}\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma=\frac{1}{2}R^{2}(\sin2\alpha+\sin2\alpha+\sin2\alpha).
Кроме того, по теореме синусов
\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R.
Следовательно,
a\cos^{3}\alpha+b\cos^{3}\beta+c\cos^{3}\gamma=2R\sin\alpha\cos^{3}\alpha+2R\sin\beta\cos^{3}\beta+2R\sin\gamma\cos^{3}\gamma=
=2R(\sin\alpha\cos\alpha\cos^{2}\alpha+\sin\beta\cos\beta\cos^{2}\beta+\sin\gamma\cos\gamma\cos^{2}\gamma)=
=\frac{1}{2}R(\sin2\alpha(1+\cos2\alpha)+\sin2\beta(1+\cos2\beta)+\sin2\gamma(1+\cos2\gamma))=
=\frac{1}{2}R(\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma)+
+\frac{1}{2}R(\sin2\alpha\cos2\alpha+\sin2\beta\cos2\beta+\sin2\gamma\cos2\gamma)=
=\frac{1}{2}R(\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma)+\frac{1}{4}R(\sin4\alpha+\sin4\beta+\sin4\gamma)=
=\frac{abc}{4R^{2}}+\frac{1}{4}R(-4\sin2\alpha\sin2\beta\sin2\gamma)=\frac{abc}{4R^{2}}-R\sin2\alpha\sin2\beta\sin2\gamma.
При этом
\sin2\alpha\sin2\beta\sin2\gamma\geqslant0,
так как треугольник ABC
нетупоугольный. Следовательно,
a\cos^{3}\alpha+b\cos^{3}\beta+c\cos^{3}\gamma\leqslant\frac{abc}{4R^{2}}.
Что и требовалось доказать.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник ABC
прямоугольный.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2007, № 6 задача 3167 (2006, с. 395, 397), с. 374