16259. Стороны треугольника равны a
, b
и c
; угол, противолежащий стороне, равной a
, равен \alpha
; радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника равны R
и r
соответственно. Докажите, что если \alpha\geqslant90^{\circ}
, то
\frac{r}{R}\leqslant\frac{a\sin\alpha}{a+b+c}.
Решение. Пусть S
— площадь данного треугольника, а h_{a}
— высота, опущенная на сторону, равную a
. Тогда (см. задачи 452 и 23)
\frac{r}{R}\leqslant\frac{a\sin\alpha}{a+b+c}~\Leftrightarrow~r(a+b+c)\leqslant aR\sin\alpha~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2S\leqslant\frac{1}{2}a\cdot2R\sin\alpha~\Leftrightarrow~ah_{a}\leqslant\frac{1}{2}a^{2}~\Leftrightarrow~h_{a}\leqslant\frac{1}{2}a.
Докажем последнее неравенство. Пусть m_{a}
— медиана данного треугольника, проведённая к стороне, равной a
. Тогда по формуле для медианы треугольника (см. задачу 4014) и по теореме косинусов
m_{a}^{2}=\frac{1}{4}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})=\frac{1}{2}(b^{2}+c^{2})-\frac{1}{4}a^{2}=
=\frac{1}{2}(a^{2}+2bc\cos\alpha)-\frac{1}{4}a^{2}=\frac{1}{4}a^{2}+bc\cos\alpha\leqslant\frac{1}{4}a^{2}
(\cos\alpha\leqslant0
из условия), то
h_{a}\leqslant m_{a}\leqslant\frac{a}{2}.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Венгерские математические олимпиады. — 2003-2004
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2008, № 1, задача 2 (2007, с. 83), с. 23