16342. Даны треугольник ABC
, его описанная окружность и ортоцентр. С помощью одной линейки постройте центр описанной окружности.
Решение. Проведём лучи AH
, BH
и CH
. Пусть они пересекают стороны BC
, AC
, AB
и описанную окружность треугольника ABC
в точках D
, E
, F
и D'
, E'
, F'
соответственно. Тогда AD
, BE
и CF
— высоты треугольника ABC
, а D
, E
и F
— середины отрезков соответственно HD'
, HE'
и HF'
(см. задачу 4785). Значит, EF
, DF
и DE
— средние линии треугольников D'HE'
, D'HF'
и D'HE
соответственно, а треугольник D'E'F'
гомотетичен ортотреугольнику DEF
треугольника ABC
с центром гомотетии H
и коэффициентом 2.
Проведём диагонали DE'
, D'E
трапеции EDD'E
и диагонали EF'
и F'E
трапеции FEE'F'
. Пусть K
— точка пересечения DE'
и D'E
, а L
— точка пересечения EF'
и F'E
.
Проведём прямую FK
. Пусть она пересекает основание D'E'
первой трапеции в точке M
. Тогда по замечательному свойству трапеции (см. задачу 1513) M
— середина хорды D'E'
описанной окружности треугольника ABC
. Аналогично строим середину N
хорды E'F'
.
Проведём прямые AN
и CM
. Пусть они пересекутся в точке O
. Поскольку D'A
и F'C
— биссектрисы углов E'D'F'
и D'F'E
(см. задачу 533), а M
и N
— середины сторон D'E'
и E'F'
треугольника D'E'F'
, то прямые AN
и CM
— серединные перпендикуляры к хордам соответственно E'F'
и D'E'
описанной окружности треугольника D'E'F'
(см. задачу 1743), а следовательно, и треугольника ABC
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2015, № 1, задача 3909, с. 40