16350. Окружности K_{1}
и K_{2}
разных радиусов пересекаются в точках A
и B
. Прямая, проходящая через точку A
, вторично пересекает K_{1}
и K_{2}
в точках C
и D
соответственно, причём A
— середина отрезка CD
. Прямые DB
и CB
вторично пересекают K_{1}
и K_{2}
в точках E
и F
соответственно. Прямые l_{1}
и l_{2}
— серединные перпендикуляры к отрезкам CD
и EF
соответственно.
а) Докажите, что прямые l_{1}
и l_{2}
имеют единственную общую точку (обозначим её P
).
б) Докажите, что существует прямоугольный треугольник, стороны которого равны отрезкам CA
, AP
и PE
.
Решение. а) Пусть K
— описанная окружность треугольника BEF
, точки O
, O_{1}
, O_{2}
— центры окружностей K
, K_{1}
и K_{2}
радиусов R
, R_{1}
и R_{2}
соответственно, а прямые, проведённые из точки C
и D
, касаются окружности K
в точках M
и N
соответственно. Тогда (см. задачи 93 и 2636)
CM^{2}=CB\cdot CF=CA\cdot CD=DA\cdot DC=DB\cdot DE=DN^{2}~\Rightarrow~CM=DN.
Значит, прямоугольные треугольники CMO
и DNO
равны по двум катетам, поэтому OC=OD
, т. е. точка O
равноудалена от концов отрезка CD
. Следовательно, она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку, т. е. на прямой l_{1}
. В то же время, точка O
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку EF
, так как O
— центр описанной окружности треугольника BEF
.
Теперь достаточно доказать, что O
— единственная общая точка прямых l_{1}
и l_{2}
. Допустим, что это не так, т. е. прямые l_{1}
и l_{2}
совпадают.
Тогда прямые CD
и EF
параллельны, так как они перпендикулярны одной и той же прямой. Значит, треугольники BEF
и BDC
гомотетичны с центром гомотетии B
. Тогда точки A
(середина отрезка CD
), B
и середина G
отрезка EF
лежат на одной прямой l
, а так как точки O
и A
лежат на прямой l_{1}
, то прямая l
совпадает с l_{1}
.
Поскольку линия центров O_{1}O_{2}
перпендикулярна общей хорде AB
пересекающихся окружностей K_{1}
и K_{2}
, то прямые O_{1}O_{2}
и CD
параллельны. Пусть расстояние между этими прямыми равно d
. Тогда по теореме Пифагора
R_{1}^{2}=d^{2}+\left(\frac{1}{2}AC\right)^{2}=d^{2}+\left(\frac{1}{2}AD\right)^{2}=R_{2}^{2},
т. е. R_{1}=R_{2}
, что противоречит условию задачи. Следовательно, O
— единственная общая точка прямых l_{1}
и l_{2}
. Что и требовалось доказать.
б) Поскольку
CO^{2}-R^{2}=CM^{2}=CB\cdot CF=CA\cdot CD=CA\cdot2CA=2CA^{2},
из прямоугольного треугольника ACO
получаем
AO^{2}+CA^{2}=CO^{2}=R^{2}+2CA^{2},
откуда
AO^{2}=CA^{2}+R^{2}=CA^{2}+OE^{2}.
Следовательно (см. задачу 1972), существует прямоугольный треугольник, стороны которого равны отрезкам CA
, AO
и OE
. Что и требовалось доказать.
Источник: Китайские математические олимпиады. — 2013
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2016, № 2, задача 3993, с. 59