16355. Пусть R
и r
— радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей нетупоугольного треугольника, S
— его площадь. Докажите, что
S\lt\left(\frac{\frac{1}{r}+3R+3}{7}\right)^{7}.
Решение. Поскольку
\frac{\frac{1}{r}+3R+3}{7}=\frac{\frac{1}{r}+R+R+R+1+1+1}{7}\geqslant\sqrt[{7}]{{\frac{1}{r}\cdot R\cdot R\cdot R\cdot1\cdot1\cdot1}}=\sqrt[{7}]{{\frac{R^{3}}{r}}}
(см. примечание к задаче 3399), то достаточно доказать, что
S\lt\frac{R^{3}}{r}.
Пусть p
— полупериметр данного треугольника. Поскольку R\geqslant2r
(см. задачу 3587), R\geqslant\frac{2p}{3\sqrt{3}}
(см. задачу 3226) и pr=S
(см. задачу 452), получаем
\frac{R^{3}}{r}=\frac{R^{2}\cdot R}{r}\geqslant\frac{4r^{2}\cdot\frac{2p}{3\sqrt{3}}}{r}=4r\cdot\frac{2p}{3\sqrt{3}}=\frac{8pr}{3\sqrt{3}}=\frac{8S}{3\sqrt{3}}\gt S.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2016, № 6, задача 4042, с. 277