16375. Пусть высоты AA'
, BB'
и CC'
треугольника ABC
пересекаются в точке H
, O
— центр описанной окружности этого треугольника, лучи AO
, BO
и CO
пересекают прямые BC
, AC
и AB
в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно, а A''
, B''
и C''
— середины отрезков AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
соответственно. Докажите, что прямые A'A''
, B'B''
и C'C''
пересекаются в одной точке.
Решение. Докажем, что прямые A'A''
, B'B''
и C'C''
пересекаются в центре окружности девяти точек.
Если AB=AC
, то точки A'
и A_{1}
совпадают, поэтому прямая A'A''
содержит высоту треугольника ABC
и проходит через точку O
, а значит, проходит через середину отрезка OH
, т. е. через центр окружности девяти точек (см. задачу 174).
Пусть AB\ne AC
, M
— середина стороны BC
, K
— середина отрезка AH
, а N
— точка пересечения A'A''
и KM
. Поскольку AK=OM
(см. задачу 1257) и OM\perp BC
(см. задачу 1676), противоположные стороны AK
и OM
четырёхугольника AKMO
равны и параллельны. Значит, это параллелограмм, и тогда KM\parallel AA_{1}
.
Медиана A'A''
прямоугольного треугольника AA'A_{1}
делит пополам отрезок KM
(см. задачу 2607), т. е. N
— середина отрезка KM
, а значит, центр описанной окружности прямоугольного треугольника KA'M
. Эта окружность проходит через середину M
стороны BC
треугольника ABC
, основание A'
высоты этого треугольника и середину K
отрезка AH
, а значит, совпадает с окружностью девяти точек треугольника ABC
(см. задачу 174). Следовательно, прямая A'A''
проходит через центр N
окружности девяти точек.
Аналогично докажем, что прямые B'B''
и C'C''
тоже проходят через точку N
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2019, № 10, задача 4441, с. 568