16410. Пусть G
, H
, I
, O
и N
— соответственно точка пересечения медиан, ортоцентр, центр вписанной окружности, центр описанной окружности и точка Нагеля (см. задачу 4284) треугольника. Докажите, что треугольники HIG
и GON
равновелики.
Решение. Точки H
, G
и O
лежат на одной прямой (прямой Эйлера треугольника), причём точка G
лежит между H
и O
, и GH=2GO
(см. задачу 5044).
Точки G
, I
и N
лежат на одной прямой, причём точка G
лежит между I
и N
, и GN=2GI
(см. задачу 4550).
Обозначим GO=a
, GI=b
и \angle IGH=\angle NGO=\theta
. Тогда
S_{\triangle HIG}=\frac{1}{2}GH\cdot GI\sin\angle IGH=\frac{1}{2}\cdot2a\cdot b\sin\theta=ab\sin\theta,
S_{\triangle GON}=\frac{1}{2}GO\cdot GN\sin\angle NGO=\frac{1}{2}\cdot a\cdot2b\sin\theta=ab\sin\theta.
Следовательно, S_{\triangle HIG}=S_{\triangle GON}
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1936, том 10, № 6, задача 108, с. 233