16416. Постройте какой-нибудь треугольник, у которого точка N
Нагеля (см. задачу 4284) лежит на вписанной окружности.
Решение. Пусть I
— центр вписанной окружности, а G
— точка пересечения медиан треугольника. Воспользуемся следующими утверждениями.
1. Точки I
, G
и N
лежат на одной прямой (прямой Нагеля), причём GN:GI=2:1
(см. задачу 4550).
2. Прямая, проходящая через точку I
и середину M
стороны BC
треугольника ABC
, параллельна прямой AN
(см. задачу 6729).
Отсюда вытекает следующее построение. С центром в точке I
проведём окружность произвольного радиуса и вторую окружность радиусом, равным трети радиуса первой. Проведём произвольную касательную l
к первой окружности. Через произвольную точку M
прямой l
проведём прямую, пересекающую вторую окружность в точке G
. Пусть прямая IG
пересекает первую окружность в точке N
. Через точку N
проведём прямую, параллельную IM
. Пусть она пересекает прямые l
и MG
в точках I'
и A
соответственно. Проведём через точку A
касательные ко второй окружности. Пусть они пересекают прямую l
в точках B
и C
. Тогда ABC
— искомый треугольник.
Действительно, треугольник AGN
подобен треугольнику MGI
с коэффициентом \frac{IG}{GN}=2
, поэтому GN=IG
и AG=2GM
, поэтому N
— точка Нагеля треугольника ABC
, G
— точка пересечения медиан, M
— середина стороны BH
, а I'
— точка касания вневписанной окружности треугольника ABC
со стороной BC
.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1939, том 13, № 7, задача 259, с. 343